ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты уравнения. Многочлен $x^3-x^2-4$ обращается в ноль при $x=2$, поэтому делится на $x-2$:

$$x^3-x^2-4=(x-2)\left(x^2+x+2\right).$$

Свободный член: $x^4-4x^2=x^2\left(x^2-4\right)=x^2(x-2)(x+2)$. Вынесем общий множитель $x-2$:

$$(x-2)\left(a^2+\left(x^2+x+2\right)a+x^2(x+2)\right)=0.$$

Выражение во второй скобке — квадратный трёхчлен относительно $a$. Числа $-x^2$ и $-(x+2)$ в сумме дают $-\left(x^2+x+2\right)$, а в произведении $x^2(x+2)$, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, они — его корни:

$$a^2+\left(x^2+x+2\right)a+x^2(x+2)=\left(a+x^2\right)(a+x+2).$$

Уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=2,\\ x^2=-a,\\ x=-a-2.\end{array}$$

На плоскости $(x;a)$ это прямая $x=2$, парабола $a=-x^2$ и прямая $a=-x-2$; число корней равно числу различных абсцисс общих точек этой картинки с горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$.

Переберём значения $a$.

Случай $a>0$. Уравнение $x^2=-a$ корней не имеет. Остаются корни $x=2$ и $x=-a-2<-2$, они различны. Ровно два корня — все такие $a$ подходят.

Случай $a=0$. Корни $x=2$, $x=0$ и $x=-2$ — три корня, не подходит.

**Случай $a<0$.** Корни: $x_1=2$, $x_2=\sqrt{-a}>0$, $x_3=-\sqrt{-a}<0$, $x_4=-a-2$. Найдём, когда они совпадают.

$x_2=x_1$ при $\sqrt{-a}=2$, то есть при $a=-4$. Равенство $x_3=x_1$ невозможно, так как $x_3<0$.

$x_4=x_1$ при $-a-2=2$, то есть при $a=-4$.

$x_4$ совпадает с $x_2$ или $x_3$, если $x_4^2=-a$:

$$(a+2{)}^2=-a\iff a^2+5a+4=0\iff a=-1\text{или}a=-4.$$

При $a=-1$ получаем $x_4=-1=x_3$, и корни $2$, $1$, $-1$ — их три, значение не подходит.

При $a=-4$ получаем $x_2=x_4=x_1=2$ и $x_3=-2$ — ровно два корня, значение подходит. На картинке горизонтальная прямая $a=-4$ проходит через общую точку $(2;-4)$ всех трёх линий и через точку $(-2;-4)$ параболы.

При остальных $a<0$ все четыре числа различны — четыре корня.

Ответ: $a\in \{-4\}\cup (0;+\infty )$.