ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Знаменатель $\sqrt{4-y}$ определён и не равен нулю при $4-y>0$, то есть при $y<4$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля.

Разложим числитель группировкой:

$$x{y}^2-2xy-4y+8=xy(y-2)-4(y-2)=(y-2)(xy-4).$$

Значит, первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}y<4,\\ [\begin{array}{l}y=2,\\ xy=4.\end{array}\end{array}$$

Его множество решений $M$ на плоскости $(x;y)$ — это прямая $y=2$ целиком (так как $2<4$) и часть гиперболы $y=\frac{4}{x}$, где $y<4$. Левая ветвь гиперболы ($x<0$, $y<0$) входит в $M$ целиком. На правой ветви $\frac{4}{x}<4$ при $x>1$, так что точка $B(1;4)$ и часть ветви левее неё выброшены.

Прямая $y=2$ и гипербола пересекаются в точке $A(2;2)$: из $2x=4$ получаем $x=2$.

Второе уравнение задаёт прямую $y=ax$ через начало координат. Число решений системы — число общих точек этой прямой с множеством $M$.

Случай $a=0$. Прямая $y=0$ не пересекает прямую $y=2$, а с гиперболой даёт $xy=0\ne 4$. Решений нет.

Случай $a\ne 0$. С прямой $y=2$ общая точка одна: $ax=2$, точка $P\left(\frac{2}{a};2\right)$.

С гиперболой: $x\cdot ax=4$, то есть $a{x}^2=4$. При $a<0$ решений нет, так как $a{x}^2⩽0<4$. При $a>0$ получаем $x=\pm \frac{2}{\sqrt{a}}$ и две точки

$$Q\left(\frac{2}{\sqrt{a}};2\sqrt{a}\right),R\left(-\frac{2}{\sqrt{a}};-2\sqrt{a}\right).$$

Точка $R$ лежит на левой ветви и всегда входит в $M$. Точка $Q$ входит в $M$, если $2\sqrt{a}<4$, то есть $a<4$. Граничное значение $a=4$ отвечает прямой $y=4x$, проходящей через выколотую точку $B(1;4)$.

Подсчёт. При $a<0$ решение одно — точка $P$.

При $a>0$ точки $R$ и $P$ различны ($R$ ниже оси абсцисс), $R\ne Q$. Совпасть могут только $Q$ и $P$:

$$2\sqrt{a}=2\iff a=1,$$

и тогда $Q=P=A(2;2)$ — прямая $y=x$ проходит через общую точку прямой $y=2$ и гиперболы.

При $0<a<4$, $a\ne 1$ в $M$ входят три различные точки $P$, $Q$, $R$ — ровно три решения.

При $a=1$ получаем точки $A(2;2)$ и $R(-2;-2)$ — два решения.

При $a⩾4$ точка $Q$ в $M$ не входит (при $a=4$ это выколотая точка $B$), остаются $P$ и $R$ — два решения.

Ответ: $a\in (0;1)\cup (1;4)$.