ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение имеет смысл при $y+2⩾0$, то есть при $y⩾-2$. Разложим многочлен в скобках на множители группировкой:

$$x{y}^2-xy-6y+6=xy(y-1)-6(y-1)=(y-1)(xy-6).$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, а все множители определены. Поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}y⩾-2,\\ [\begin{array}{l}y=1,\\ xy=6,\\ y=-2.\end{array}\end{array}$$

Обозначим через $M$ множество её решений на плоскости $(x;y)$. Это прямые $y=1$ и $y=-2$ целиком и часть гиперболы $y=\frac{6}{x}$, где $y⩾-2$. Правая ветвь гиперболы ($x>0$, $y>0$) входит в $M$ целиком. На левой ветви $x<0$, и условие $\frac{6}{x}⩾-2$ после умножения на отрицательное $x$ даёт $6⩽-2x$, то есть $x⩽-3$.

Второе уравнение задаёт прямую $y=ax$, проходящую через начало координат. Число решений системы — это число общих точек этой прямой с множеством $M$.

Случай $a=0$. Прямая $y=0$ не пересекает прямые $y=1$, $y=-2$ и гиперболу (при $y=0$ получаем $xy=0\ne 6$). Решений нет.

Случай $a\ne 0$. Найдём все общие точки.

С прямой $y=1$: $ax=1$, точка $A\left(\frac{1}{a};1\right)$.

С прямой $y=-2$: $ax=-2$, точка $B\left(-\frac{2}{a};-2\right)$.

С гиперболой: $x\cdot ax=6$, то есть $a{x}^2=6$. При $a<0$ решений нет. При $a>0$ получаем $x=\pm \sqrt{\frac{6}{a}}$ и две точки

$$C\left(\sqrt{\frac{6}{a}};\sqrt{6a}\right),D\left(-\sqrt{\frac{6}{a}};-\sqrt{6a}\right).$$

Точка $C$ лежит на правой ветви и всегда входит в $M$. Точка $D$ входит в $M$, если $-\sqrt{6a}⩾-2$, то есть $6a⩽4$, $a⩽\frac{2}{3}$.

Изобразим множество $M$ и граничные положения прямой $y=ax$ (пунктир): при $a=\frac{1}{6}$ она проходит через точку $(6;1)$, общую для прямой $y=1$ и гиперболы, а при $a=\frac{2}{3}$ — через точку $(-3;-2)$, общую для прямой $y=-2$ и гиперболы.

Подсчёт при $a<0$. Есть только точки $A$ и $B$, они различны (у них разные ординаты). Решений два — не подходит.

Подсчёт при $a>0$. Точки $A$ и $B$ различны. Точка $C$ не совпадает с $B$ и $D$ (у $C$ ордината положительна), точка $D$ не совпадает с $A$ (у $D$ ордината отрицательна). Возможны только совпадения

$$C=A\iff \sqrt{6a}=1\iff a=\frac{1}{6},D=B\iff \sqrt{6a}=2\iff a=\frac{2}{3}.$$

При $0<a<\frac{2}{3}$, $a\ne \frac{1}{6}$ в $M$ входят все четыре точки, и они различны — четыре решения.

При $a=\frac{1}{6}$ точки $A$ и $C$ совпадают: $A=C=(6;1)$. Остаются ещё $B(-12;-2)$ и $D(-6;-1)$ (она входит в $M$, так как $\frac{1}{6}<\frac{2}{3}$). Ровно три решения — подходит.

При $a=\frac{2}{3}$ точки $D$ и $B$ совпадают: $D=B=(-3;-2)$. Остаются $A\left(\frac{3}{2};1\right)$ и $C(3;2)$. Ровно три решения — подходит.

При $a>\frac{2}{3}$ точка $D$ лежит ниже прямой $y=-2$ и в $M$ не входит. Остаются $A$, $B$, $C$, и они различны ($C=A$ только при $a=\frac{1}{6}$). Ровно три решения — все такие $a$ подходят.

Ответ: $a\in \left\{\frac{1}{6}\right\}\cup \left[\frac{2}{3};+\infty \right)$.