ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение $y^2=x^2$ равносильно совокупности $y=x$ или $y=-x$. Первое уравнение задаёт окружность радиуса $1$ с центром $(2a+2;a)$. Решения системы — общие точки окружности с прямыми $y=x$ и $y=-x$.

Каждая прямая пересекает окружность не более чем в двух точках, а общая точка у прямых одна — начало координат $O(0;0)$. Поэтому система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда окружность пересекает каждую из прямых в двух точках и не проходит через $O$. Если хотя бы одна прямая даёт меньше двух точек или точка $O$ общая, решений не больше трёх.

Прямая $y=x$. Подставим $y=x$ в первое уравнение:

$$(x-2a-2{)}^2+(x-a{)}^2=1\iff 2x^2-2(3a+2)x+5a^2+8a+3=0.(1)$$

Здесь свободный член $(2a+2{)}^2+a^2-1=5a^2+8a+3$. Два корня будут при положительном дискриминанте:

$$\frac{D_1}{4}=(3a+2{)}^2-2\left(5a^2+8a+3\right)=-a^2-4a-2>0\iff a^2+4a+2<0.$$

Корни трёхчлена $a^2+4a+2$ равны $-2\pm \sqrt{2}$, поэтому

$$-2-\sqrt{2}<a<-2+\sqrt{2}.$$

Прямая $y=-x$. Подставим $y=-x$:

$$(x-2a-2{)}^2+(x+a{)}^2=1\iff 2x^2-2(a+2)x+5a^2+8a+3=0.(2)$$

$$\frac{D_2}{4}=(a+2{)}^2-2\left(5a^2+8a+3\right)=-9a^2-12a-2>0\iff 9a^2+12a+2<0.$$

Корни трёхчлена $9a^2+12a+2$: $a=\frac{-12\pm \sqrt{144-72}}{18}=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{3}$. Поэтому

$$\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<a<\frac{-2+\sqrt{2}}{3}.$$

Пересечение условий. Сравним концы промежутков. Числа $-2-\sqrt{2}$ и $-2+\sqrt{2}$ отрицательны, а при делении отрицательного числа на $3$ оно увеличивается, поэтому $-2-\sqrt{2}<\frac{-2-\sqrt{2}}{3}$ и $-2+\sqrt{2}<\frac{-2+\sqrt{2}}{3}$. Кроме того,

$$\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<-2+\sqrt{2}\iff -2-\sqrt{2}<-6+3\sqrt{2}\iff 4<4\sqrt{2},$$

что верно. Значит, оба дискриминанта положительны при

$$\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<a<-2+\sqrt{2}.$$

Точка $O$ на окружности. Подставим $x=y=0$ в первое уравнение:

$$(2a+2{)}^2+a^2=1\iff 5a^2+8a+3=0\iff a=-1\text{или}a=-\frac{3}{5}.$$

При этих значениях $x=0$ — общий корень уравнений $(1)$ и $(2)$ (их свободный член обращается в ноль), и система имеет три различных решения. Оба значения лежат в найденном промежутке: $\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<-1$, так как $\sqrt{2}>1$, и $-0,6<-2+\sqrt{2}$, так как $\sqrt{2}>1,4$. Их нужно исключить.

На концах промежутка один из дискриминантов равен нулю: окружность касается одной из прямых, и решений три — концы не входят.

Ответ: $a\in \left(\frac{-2-\sqrt{2}}{3};-1\right)\cup \left(-1;-0,6\right)\cup \left(-0,6;-2+\sqrt{2}\right)$.