Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(1-2x)ln(25x²-a²)=√(1-2x)ln(5x-a) имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и логарифмы средняя 2023 развёрнутое

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$1 - 2 x ln (25 x^{2} - a^{2}) = 1 - 2 x ln (5 x - a)$

имеет ровно один корень.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Запишем ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, аргументы логарифмов положительны:

$⎩ ⎨ ⎧ 1 - 2 x ⩾ 0, 25 x^{2} - a^{2} > 0, 5 x - a > 0.$

Так как $25 x^{2} - a^{2} = (5 x - a) (5 x + a)$ и $5 x - a > 0$ , второе условие равносильно $5 x + a > 0$ . Значит, ОДЗ задаётся системой

$⎩ ⎨ ⎧ x ⩽ \frac{1}{2}, 5 x > a, 5 x > - a \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x ⩽ \frac{1}{2}, 5 x > ∣ a ∣.$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$1 - 2 x (ln (25 x^{2} - a^{2}) - ln (5 x - a)) = 0.$

На ОДЗ произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю один из множителей. Логарифм — возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов:

$[1 - 2 x = 0, 25 x^{2} - a^{2} = 5 x - a \Leftrightarrow [x = \frac{1}{2}, (5 x - a) (5 x + a - 1) = 0.$

Здесь мы разложили $25 x^{2} - a^{2} - (5 x - a) = (5 x - a) (5 x + a) - (5 x - a) = (5 x - a) (5 x + a - 1)$ . На ОДЗ множитель $5 x - a$ не равен нулю, поэтому остаётся $5 x + a = 1$ , то есть $x = \frac{1 - a}{5}$ .

Итак, на ОДЗ уравнение равносильно совокупности $x = \frac{1}{2}$ или $x = \frac{1 - a}{5}$ . Каждый кандидат — корень тогда и только тогда, когда он входит в ОДЗ.

Кандидат $x_{1} = \frac{1}{2}$ . Условие $x ⩽ \frac{1}{2}$ выполнено. Условие $5 x > ∣ a ∣$ даёт $∣ a ∣ < \frac{5}{2}$ , то есть $- \frac{5}{2} < a < \frac{5}{2}$ .

Кандидат $x_{2} = \frac{1 - a}{5}$ . Условие $x ⩽ \frac{1}{2}$ даёт $1 - a ⩽ \frac{5}{2}$ , то есть $a ⩾ - \frac{3}{2}$ . Условие $5 x > ∣ a ∣$ принимает вид $1 - a > ∣ a ∣$ , что равносильно системе

${1 - a > a, 1 - a > - a \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a < \frac{1}{2}, 1 > 0.$

Значит, $x_{2}$ — корень при $- \frac{3}{2} ⩽ a < \frac{1}{2}$ .

Совпадение. $\frac{1 - a}{5} = \frac{1}{2}$ при $a = - \frac{3}{2}$ .

На плоскости $(x; a)$ корни образуют отрезок прямой $x = \frac{1}{2}$ и отрезок прямой $x = \frac{1 - a}{5}$ ; число корней равно числу общих точек картинки с горизонтальной прямой $a = const$ .

Решения на плоскости (x; a): отрезок x = 1/2 и отрезок x = (1 − a)/5

Переберём значения $a$ , разбив прямую точками $- \frac{5}{2}$ , $- \frac{3}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{5}{2}$ .

При $a ⩽ - \frac{5}{2}$ ни один кандидат не подходит — корней нет.

При $- \frac{5}{2} < a < - \frac{3}{2}$ подходит только $x_{1} = \frac{1}{2}$ — один корень.

При $a = - \frac{3}{2}$ подходят оба кандидата, но они совпадают: $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$ — один корень.

При $- \frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ подходят оба кандидата, и они различны — два корня.

При $\frac{1}{2} ⩽ a < \frac{5}{2}$ подходит только $x_{1}$ — один корень. В частности, при $a = \frac{1}{2}$ получаем $x_{2} = \frac{1}{10}$ и $5 x_{2} - a = 0$ , так что $x_{2}$ не входит в ОДЗ.

При $a ⩾ \frac{5}{2}$ корней нет.

Объединим промежутки, где корень ровно один:

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19