ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=|x+1|$, $t⩾0$. Так как $(x+1{)}^2=|x+1{|}^2=t^2$, уравнение примет вид

$$2a{t}^2-t+1=0.(\ast )$$

Выясним, сколько корней $x$ даёт каждое значение $t$ при обратной замене $|x+1|=t$:

при $t>0$ — два корня $x=-1+t$ и $x=-1-t$;

при $t=0$ — один корень $x=-1$;

при $t<0$ — ни одного корня.

Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$, так как $t$ однозначно определяется по $x$. Число $t=0$ корнем уравнения $(\ast )$ не является: при нём левая часть равна $1$. Значит, число корней исходного уравнения равно удвоенному числу положительных корней уравнения $(\ast )$.

Уравнение $(\ast )$ имеет не больше двух корней, поэтому четыре корня у исходного уравнения будут тогда и только тогда, когда уравнение $(\ast )$ имеет два различных положительных корня.

При $a=0$ уравнение $(\ast )$ линейное: $-t+1=0$, $t=1$. Получаем только два корня $x=0$ и $x=-2$ — значение не подходит.

При $a\ne 0$ уравнение $(\ast )$ квадратное. Два различных корня оно имеет при положительном дискриминанте, а оба корня положительны тогда и только тогда, когда их произведение и сумма положительны (произведение положительно — корни одного знака, сумма положительна — этот знак «плюс»). По теореме Виета $t_1{t}_2=\frac{1}{2a}$ и $t_1+t_2=\frac{1}{2a}$. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}D=1-8a>0,\\ t_1{t}_2=\frac{1}{2a}>0,\\ t_1+t_2=\frac{1}{2a}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a<\frac{1}{8},\\ a>0.\end{array}$$

Ответ: $a\in \left(0;\frac{1}{8}\right)$.