ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. ОДЗ: $4x-2>0$ и $x^2-4x+4a-a^2⩾0$.

Числа $a$ и $4-a$ в сумме дают $4$, а в произведении $4a-a^2$, поэтому по теореме, обратной теореме Виета,

$$x^2-4x+4a-a^2=(x-a)(x-4+a).$$

Уравнение имеет на отрезке $[0;2]$ ровно один корень тогда и только тогда, когда ровно одно решение имеет совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (4x-2)=0,\\ (x-a)(x-4+a)⩾0,\\ 0⩽x⩽2,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}(x-a)(x-4+a)=0,\\ 4x-2>0,\\ 0⩽x⩽2.\end{array}\end{array}$$

Из $\ln (4x-2)=0$ получаем $4x-2=1$, то есть $x_1=\frac{3}{4}$ (условие $4x-2>0$ при этом выполнено). Из второй системы получаем кандидатов $x_2=a$ и $x_3=4-a$. Назовём кандидата хорошим, если он удовлетворяет всем условиям своей системы, иначе — плохим. Нужно, чтобы различных хороших чисел было ровно одно.

Когда хорош $x_1=\frac{3}{4}$. Это число лежит на отрезке $[0;2]$. Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$\left(\frac{3}{4}-a\right)\left(\frac{3}{4}-4+a\right)⩾0\iff \left(a-\frac{3}{4}\right)\left(a-\frac{13}{4}\right)⩽0\iff \frac{3}{4}⩽a⩽\frac{13}{4}.$$

Когда хорош $x_2=a$. Условия $4a-2>0$ и $0⩽a⩽2$ дают $\frac{1}{2}<a⩽2$.

Когда хорош $x_3=4-a$. Условия $4(4-a)-2>0$ и $0⩽4-a⩽2$ дают $a<\frac{7}{2}$ и $2⩽a⩽4$, то есть $2⩽a<\frac{7}{2}$.

Совпадения. $x_1=x_2$ при $a=\frac{3}{4}$; $x_1=x_3$ при $4-a=\frac{3}{4}$, то есть при $a=\frac{13}{4}$; $x_2=x_3$ при $a=2$.

Переберём значения $a$, разбив прямую точками $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $2$, $\frac{13}{4}$, $\frac{7}{2}$.

При $a⩽\frac{1}{2}$ все три числа плохие — корней нет.

При $\frac{1}{2}<a<\frac{3}{4}$ хорош только $x_2=a$ — один корень.

При $a=\frac{3}{4}$ хороши $x_1$ и $x_2$, но они совпадают: $x_1=x_2=\frac{3}{4}$; число $x_3=\frac{13}{4}$ плохое — один корень.

При $\frac{3}{4}<a<2$ хороши различные числа $x_1=\frac{3}{4}$ и $x_2=a$ — два корня.

При $a=2$ хороши $x_1=\frac{3}{4}$ и $x_2=x_3=2$ — два корня.

При $2<a<\frac{13}{4}$ хороши $x_1=\frac{3}{4}$ и $x_3=4-a\in \left(\frac{3}{4};2\right)$ — два корня.

При $a=\frac{13}{4}$ хороши $x_1$ и $x_3$, но $x_1=x_3=\frac{3}{4}$; число $x_2=\frac{13}{4}$ плохое — один корень.

При $\frac{13}{4}<a<\frac{7}{2}$ хорош только $x_3=4-a\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)$ — один корень.

При $a⩾\frac{7}{2}$ все числа плохие — корней нет.

Объединим промежутки, где корень ровно один:

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{13}{4};\frac{7}{2}\right)$.