ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $x$:

$$2x^2-5y\cdot x+2y^2=0.$$

Его дискриминант $D=25y^2-16y^2=9y^2$, корни

$$x=\frac{5y\pm 3y}{4},x_1=2y,x_2=\frac{y}{2}.$$

Поэтому $2x^2-5xy+2y^2=(x-2y)(2x-y)$, и первое уравнение задаёт две прямые $y=\frac{x}{2}$ и $y=2x$, проходящие через начало координат. Они пересекаются только в точке $O(0;0)$.

Случай $a=0$. Второе уравнение принимает вид $x^2+y^2=0$, откуда $x=y=0$. Пара $(0;0)$ удовлетворяет и первому уравнению, так что решение одно — значение $a=0$ не подходит.

Случай $a\ne 0$. Второе уравнение задаёт окружность с центром $(a;a)$ и радиусом $\sqrt{5}{a}^2$. Центр лежит на прямой $y=x$, а прямые $y=2x$ и $y=\frac{x}{2}$ симметричны относительно неё (при замене $x\leftrightarrow y$ они переходят друг в друга), поэтому окружность пересекает их в одинаковом числе точек. Проверим это и подсчитаем точки непосредственно.

Подставим $y=2x$ в уравнение окружности:

$$(x-a{)}^2+(2x-a{)}^2=5a^4\iff 5x^2-6ax+2a^2-5a^4=0,$$

$$\frac{D_1}{4}=9a^2-5\left(2a^2-5a^4\right)=25a^4-a^2=a^2\left(25a^2-1\right).$$

Подставим $y=\frac{x}{2}$ и умножим на $4$:

$$(x-a{)}^2+{\left(\frac{x}{2}-a\right)}^2=5a^4\iff 5x^2-12ax+8a^2-20a^4=0,$$

$$\frac{D_2}{4}=36a^2-5\left(8a^2-20a^4\right)=100a^4-4a^2=4a^2\left(25a^2-1\right).$$

Так как $a\ne 0$, знаки обоих дискриминантов совпадают со знаком $25a^2-1$.

При $0<|a|<\frac{1}{5}$ оба дискриминанта отрицательны — решений нет.

При $|a|>\frac{1}{5}$ каждое уравнение имеет два корня, то есть окружность пересекает каждую прямую в двух точках. Общей у прямых может быть только точка $O$. Если $O$ не лежит на окружности, решений четыре. Если лежит (при $2a^2=5a^4$, то есть $a^2=\frac{2}{5}$), точка $O$ посчитана дважды, и решений три. В обоих случаях не два.

При $|a|=\frac{1}{5}$ каждый дискриминант равен нулю: окружность касается обеих прямых. Из первого уравнения $x=\frac{3a}{5}$, из второго $x=\frac{6a}{5}$, и точки касания —

$$\left(\frac{3a}{5};\frac{6a}{5}\right)\text{и}\left(\frac{6a}{5};\frac{3a}{5}\right).$$

При $a\ne 0$ они различны, так что система имеет ровно два решения. Это и при $a=\frac{1}{5}$ (окружность в первой четверти), и при $a=-\frac{1}{5}$ (симметричная ей окружность в третьей четверти).

Ответ: $a\in \{-0,2;0,2\}$.