ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Корень пятой степени определён при всех действительных значениях подкоренного выражения, а логарифм — при $4x+1>0$. Поэтому область определения уравнения — луч $x>-\frac{1}{4}$.

Перенесём $5a$ в правую часть и обозначим

$$f(x)=3\sqrt[5]{6,2x-5,2}+4{\log }_5(4x+1).$$

Уравнение примет вид $f(x)=-5a$.

Монотонность. Функция $y=\sqrt[5]{t}$ возрастает на всей прямой, а $t=6,2x-5,2$ возрастает, поэтому их композиция $\sqrt[5]{6,2x-5,2}$ возрастает. Функция $y={\log }_{5}t$ возрастает (основание больше $1$), а $t=4x+1$ возрастает, поэтому ${\log }_5(4x+1)$ возрастает. Умножение на положительные числа $3$ и $4$ монотонность сохраняет, а сумма двух возрастающих функций возрастает. Значит, $f$ непрерывна и строго возрастает на луче $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right)$.

Множество значений. При $x\to -\frac{1}{4}$ справа аргумент логарифма стремится к нулю, и $4{\log }_5(4x+1)\to -\infty$, а первое слагаемое остаётся ограниченным. Значит, $f(x)\to -\infty$. При $x\to +\infty$ оба слагаемых неограниченно растут, и $f(x)\to +\infty$. Непрерывная функция принимает все промежуточные значения, поэтому множество значений $f$ — вся числовая прямая.

Следовательно, при каждом $a$ уравнение $f(x)=-5a$ имеет ровно один корень $x_0$: хотя бы один — потому что $-5a$ входит в множество значений, не больше одного — из-за строгой монотонности. Условие «любое решение принадлежит отрезку $[1;6]$» означает $1⩽x_0⩽6$. Так как $f$ возрастает, это равносильно двойному неравенству

$$f(1)⩽f(x_0)⩽f(6)\iff f(1)⩽-5a⩽f(6).$$

Вычислим значения на концах:

$$f(1)=3\sqrt[5]{1}+4{\log }_{5}5=3+4=7,$$

$$f(6)=3\sqrt[5]{37,2-5,2}+4{\log }_{5}25=3\sqrt[5]{32}+4\cdot 2=6+8=14.$$

Получаем

$$7⩽-5a⩽14\iff -\frac{14}{5}⩽a⩽-\frac{7}{5}\iff -2,8⩽a⩽-1,4.$$

Ответ: $a\in [-2,8;-1,4]$.