Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Параметр должен удовлетворять условию , то есть . Обозначим . Когда пробегает луч , число принимает каждое действительное значение ровно один раз, причём . Поэтому сначала найдём подходящие , а затем вернёмся к .
Уравнение примет вид
Число корнем не является: при нём левая часть равна . Поэтому при можно выразить :
Обозначим . Уравнение имеет ровно один корень на тогда и только тогда, когда значение функция принимает ровно в одной точке множества .
Найдём производную:
Разложение проверяется подстановкой: — корень многочлена , а деление на даёт . У трёхчлена дискриминант , поэтому он положителен. Знаменатель . Значит, знак совпадает со знаком :
Промежуток . Здесь , функция непрерывна и убывает. В левом конце . При слагаемое стремится к , а , поэтому . Значит, на функция принимает каждое значение из луча ровно один раз и никаких других значений не принимает.
Промежуток . Здесь функция убывает. При имеем , а . Значит, на каждое значение из принимается ровно один раз.
Промежуток . Здесь функция возрастает от до , то есть каждое значение из принимается ровно один раз.
Множества значений на и на не пересекаются, так как . Посчитаем, сколько раз принимается значение .
При — ровно один раз, на промежутке .
При — ни разу.
При — ровно один раз, в точке : на и на значения функции больше .
При — два раза: один корень на , другой на . Например, при уравнение имеет на отрезке корни и .
При — ровно один раз, на промежутке : на значения не превосходят .
Граничное значение подходит: уравнение имеет единственный корень , так как у второй скобки дискриминант .
Итак, подходят . Вернёмся к параметру , учитывая, что функция возрастает:
Ответ: .