ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. ОДЗ уравнения: $4x-1>0$ и $x^2-6x+6a-a^2⩾0$.

Разложим подкоренное выражение на множители. Числа $a$ и $6-a$ в сумме дают $6$, а в произведении $6a-a^2$, поэтому по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями трёхчлена:

$$x^2-6x+6a-a^2=(x-a)(x-6+a).$$

Уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$ тогда и только тогда, когда ровно одно решение имеет совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (4x-1)=0,\\ (x-a)(x-6+a)⩾0,\\ 0⩽x⩽3,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}(x-a)(x-6+a)=0,\\ 4x-1>0,\\ 0⩽x⩽3.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $4x-1>0$ не нужно: из $\ln (4x-1)=0$ следует $4x-1=1$. Получаем трёх кандидатов: $x_1=\frac{1}{2}$ из первой системы, $x_2=a$ и $x_3=6-a$ из второй. Назовём кандидата подходящим, если он удовлетворяет всем условиям своей системы, и найдём, при каких $a$ подходит каждый.

Кандидат $x_1=\frac{1}{2}$. Он лежит на отрезке $[0;3]$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\left(\frac{1}{2}-a\right)\left(\frac{1}{2}-6+a\right)⩾0\iff \left(a-\frac{1}{2}\right)\left(a-\frac{11}{2}\right)⩽0\iff \frac{1}{2}⩽a⩽\frac{11}{2}.$$

Кандидат $x_2=a$. Условия $4a-1>0$ и $0⩽a⩽3$ дают $\frac{1}{4}<a⩽3$.

Кандидат $x_3=6-a$. Условия $4(6-a)-1>0$ и $0⩽6-a⩽3$ дают $a<\frac{23}{4}$ и $3⩽a⩽6$, то есть $3⩽a<\frac{23}{4}$.

Совпадения кандидатов. $x_1=x_2$ при $a=\frac{1}{2}$, $x_1=x_3$ при $6-a=\frac{1}{2}$, то есть при $a=\frac{11}{2}$, и $x_2=x_3$ при $a=3$.

Наглядно: на плоскости $(x;a)$ корни образуют отрезок $x=\frac{1}{2}$ при $\frac{1}{2}⩽a⩽\frac{11}{2}$ и ломаную $x=3-|a-3|$ (это $x=a$ при $a⩽3$ и $x=6-a$ при $a⩾3$) в полосе $\frac{1}{4}<x⩽3$. Число корней равно числу общих точек этой картинки с горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$.

Переберём значения $a$, разбив прямую точками $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $3$, $\frac{11}{2}$, $\frac{23}{4}$.

При $a⩽\frac{1}{4}$ не подходит ни один кандидат — корней нет.

При $\frac{1}{4}<a<\frac{1}{2}$ подходит только $x_2=a$ — один корень.

При $a=\frac{1}{2}$ подходят $x_1$ и $x_2$, но они совпадают: $x_1=x_2=\frac{1}{2}$, а $x_3=\frac{11}{2}>3$ не подходит — один корень.

При $\frac{1}{2}<a<3$ подходят $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_2=a$, они различны — два корня.

При $a=3$ корни $\frac{1}{2}$ и $x_2=x_3=3$ — два корня.

При $3<a<\frac{11}{2}$ подходят $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_3=6-a\in \left(\frac{1}{2};3\right)$ — два корня.

При $a=\frac{11}{2}$ подходят $x_1$ и $x_3$, но $x_1=x_3=\frac{1}{2}$, а $x_2=\frac{11}{2}>3$ не подходит — один корень.

При $\frac{11}{2}<a<\frac{23}{4}$ подходит только $x_3=6-a\in \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$ — один корень.

При $a⩾\frac{23}{4}$ корней нет: $x_3=6-a⩽\frac{1}{4}$.

Объединим промежутки, где корень ровно один:

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{11}{2};\frac{23}{4}\right)$.