ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Выделим полный квадрат во втором уравнении:

$$x^2+y^2-10y=0\iff x^2+(y-5{)}^2=25.$$

Это окружность с центром $(0;5)$ и радиусом $5$. Для её точек $(y-5{)}^2⩽25$, то есть $0⩽y⩽10$. Значение $y=0$ достигается только в начале координат $O(0;0)$, значение $y=10$ — только в точке $(0;10)$.

Перейдём к первому уравнению. Его левая часть неотрицательна, поэтому при $a<0$ решений нет.

При $a=0$ получаем $3|x|+4|y|=0$, откуда $x=y=0$. Точка $O$ лежит на окружности, значит, система имеет единственное решение — значение $a=0$ не подходит.

При $a>0$ уравнение $|3x|+|4y|=12a$ задаёт ромб с вершинами $(\pm 4a;0)$ и $(0;\pm 3a)$. Его верхние стороны — это $3|x|+4y=12a$ при $y⩾0$, нижние — $3|x|-4y=12a$ при $y⩽0$.

Все точки окружности имеют $y⩾0$, и единственная её точка с $y=0$ — начало координат. Ромбу точка $O$ при $a>0$ не принадлежит, так как $0\ne 12a$. Значит, общие точки ромба и окружности лежат только на верхних сторонах ромба, где $y>0$.

Оба уравнения не меняются при замене $x$ на $-x$. Поэтому решения с $x\ne 0$ разбиваются на пары $(x;y)$ и $(-x;y)$, а решение с $x=0$ возможно только в верхней вершине ромба $(0;3a)$. Она лежит на окружности, если $9a^2-30a=0$, то есть (при $a>0$) при $a=\frac{10}{3}$.

Значит, достаточно найти общие точки окружности с правой верхней стороной ромба:

$$y=3a-\frac{3}{4}x,0⩽x⩽4a.$$

Подставим это выражение в уравнение окружности и умножим на $16$:

$$x^2+{\left(3a-\frac{3}{4}x\right)}^2-10\left(3a-\frac{3}{4}x\right)=0\iff 25x^2+(120-72a)x+48a(3a-10)=0.$$

Обозначим левую часть через $f(x)$. Это $16\left(x^2+y^2-10y\right)$ в точке стороны с абсциссой $x$, поэтому $f(x)<0$ означает, что точка стороны лежит внутри окружности, а $f(x)>0$ — что снаружи. Найдём значения на концах стороны:

$$f(0)=48a(3a-10),f(4a)=400a^2+480a-288a^2+144a^2-480a=256a^2>0.$$

Дискриминант:

$$\frac{D}{4}=(60-36a{)}^2-25\cdot 48a(3a-10)=-2304a^2+7680a+3600=-48(4a-15)(12a+5).$$

Случай $0<a<\frac{10}{3}$. Тогда $f(0)<0$: вершина $(0;3a)$ лежит внутри окружности. При положительном старшем коэффициенте это значит, что корни $f$ имеют разные знаки: $x_1<0<x_2$. Так как $f(4a)>0$ и $4a>0$, получаем $x_2<4a$. Значит, на отрезке $[0;4a]$ ровно один корень, и правая верхняя сторона пересекает окружность ровно в одной точке с $x>0$. Вместе с симметричной ей точкой на левой стороне получаем ровно два решения. Все такие $a$ подходят.

Случай $a=\frac{10}{3}$. Тогда $f(0)=0$: вершина ромба совпадает с точкой $(0;10)$ окружности. Второй корень найдём по теореме Виета: $x_1+x_2=\frac{72a-120}{25}=\frac{24}{5}$, то есть $x_2=\frac{24}{5}\in \left(0;\frac{40}{3}\right)$. Решений три: $(0;10)$ и $\left(\pm \frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)$. Это значение не подходит.

Случай $a>\frac{10}{3}$. Тогда $f(0)>0$ и $f(4a)>0$. Абсцисса вершины параболы

$$x_v=\frac{72a-120}{50}$$

лежит внутри отрезка $[0;4a]$: она положительна, так как $72a>240$, и меньше $4a$, так как $72a-120<200a$. Поэтому все корни $f$ (если они есть) лежат в интервале $(0;4a)$, и их число определяется знаком дискриминанта. При $a>0$ множитель $12a+5$ положителен, так что знак $D$ совпадает со знаком $15-4a$.

При $\frac{10}{3}<a<\frac{15}{4}$ имеем $D>0$: на правой стороне две точки, всего четыре решения — не подходит.

При $a=\frac{15}{4}$ имеем $D=0$: единственный корень $x=x_v=\frac{270-120}{50}=3$, и $y=\frac{45}{4}-\frac{9}{4}=9$. Верхние стороны ромба касаются окружности в точках $(\pm 3;9)$ — ровно два решения, значение подходит.

Касание можно проверить и через расстояние от центра $(0;5)$ до прямой $3x+4y-12a=0$: оно равно радиусу, если $\frac{|20-12a|}{5}=5$, откуда при $a>0$ получаем $a=\frac{15}{4}$.

При $a>\frac{15}{4}$ имеем $D<0$: общих точек нет, решений нет.

На рисунке тонкой линией показан ромб при $a=2$ (две общие точки с окружностью), пунктиром — верхние стороны ромба в граничных положениях $a=\frac{10}{3}$ (вершина в точке $(0;10)$) и $a=\frac{15}{4}$ (касание).

Объединим подходящие значения.

Ответ: $a\in \left(0;\frac{10}{3}\right)\cup \left\{\frac{15}{4}\right\}$.