Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений log₄(1-y²)=log₄(1-a²x²)… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Системы уравнений с параметром сложная 2024 развёрнутое

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

${lo g_{4} (1 - y^{2}) = lo g_{4} (1 - a^{2} x^{2}) x^{2} + 4 y^{2} = 5 x + 4 y$

имеет ровно два различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Начнём с первого уравнения. Логарифмы с одним и тем же основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы и эти аргументы положительны. Если аргументы равны, достаточно потребовать положительности одного из них:

$lo g_{4} (1 - y^{2}) = lo g_{4} (1 - a^{2} x^{2}) \Leftrightarrow {1 - y^{2} = 1 - a^{2} x^{2}, 1 - y^{2} > 0 \Leftrightarrow {y^{2} = a^{2} x^{2}, - 1 < y < 1.$

Равенство $y^{2} = a^{2} x^{2}$ означает, что $y = a x$ или $y = - a x$ .

Во втором уравнении выделим полные квадраты:

$x^{2} - 5 x + 4 y^{2} - 4 y = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + (2 y - 1)^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{5}{2})^{2} + (2 y - 1)^{2} = \frac{29}{4} .$

Сделаем замену $t = 2 y$ . Каждой паре $(x; y)$ соответствует ровно одна пара $(x; t)$ и наоборот, поэтому число решений при замене не меняется. Исходная система равносильна системе

$⎩ ⎨ ⎧ [t = 2 a x, t = - 2 a x, - 2 < t < 2, (x - \frac{5}{2})^{2} + (t - 1)^{2} = \frac{29}{4} .$

На плоскости $(x; t)$ последнее уравнение задаёт окружность с центром $(\frac{5}{2}; 1)$ и радиусом $\frac{29}{2}$ . Она проходит через начало координат $O$ , так как $\frac{25}{4} + 1 = \frac{29}{4}$ . Уравнения $t = \pm 2 a x$ задают две прямые, которые проходят через $O$ и симметричны относительно оси ординат. Решения системы — это общие точки этих прямых с той частью окружности, которая лежит в полосе $- 2 < t < 2$ .

Рисунок к решению

Вторая точка пересечения прямой $t = k x$ с окружностью. Раскроем скобки в уравнении окружности: оно примет вид $x^{2} + t^{2} = 5 x + 2 t$ . Подставим $t = k x$ :

$x^{2} + k^{2} x^{2} = 5 x + 2 k x \Leftrightarrow x ((1 + k^{2}) x - (5 + 2 k)) = 0.$

Корень $x = 0$ даёт точку $O$ . Второй корень даёт точку

$P_{k} (\frac{5 + 2 k}{1 + k ^{2}}; \frac{k ( 5 + 2 k )}{1 + k ^{2}}) .$

Она совпадает с $O$ только при $5 + 2 k = 0$ , то есть при $k = - \frac{5}{2}$ : в этом случае прямая касается окружности в начале координат.

Точка $O$ лежит в полосе ( $t = 0$ ), поэтому при любом $a$ пара $(0; 0)$ — решение системы.

Выясним, когда точка $P_{k}$ лежит в полосе. Знаменатель $1 + k^{2}$ положителен, поэтому на него можно умножить:

$\frac{k ( 5 + 2 k )}{1 + k ^{2}} < 2 \Leftrightarrow 2 k^{2} + 5 k < 2 + 2 k^{2} \Leftrightarrow k < \frac{2}{5},$

$\frac{k ( 5 + 2 k )}{1 + k ^{2}} > - 2 \Leftrightarrow 4 k^{2} + 5 k + 2 > 0.$

У трёхчлена $4 k^{2} + 5 k + 2$ дискриминант $25 - 32 < 0$ , а старший коэффициент положителен, поэтому второе неравенство верно при всех $k$ .

Итак, прямая $t = k x$ даёт, кроме $O$ , ещё одно решение тогда и только тогда, когда $k < \frac{2}{5}$ и $k \neq = - \frac{5}{2}$ . При $k = \frac{2}{5}$ точка $P_{k}$ — это $B (5; 2)$ : она лежит на окружности, но на границе полосы и потому выколота (при $t = 2$ получаем $y = 1$ , и логарифм $lo g_{4} (1 - y^{2})$ не определён). При $k > \frac{2}{5}$ точка $P_{k}$ попадает на дугу окружности над прямой $t = 2$ .

На рисунке по вертикальной оси отложено $t$ . Жирно выделена часть окружности в полосе $t < 2$ , её концы $(0; 2)$ и $B (5; 2)$ выколоты. Пунктиром показаны граничные положения прямых: $t = 0, 4 x$ через точку $B$ и касательная $t = - 2, 5 x$ .

Графическая иллюстрация

Подсчёт решений. Пусть $a = 0$ . Тогда обе прямые совпадают с прямой $t = 0$ , и решений ровно два: $O$ и $P_{0} = C (5; 0)$ , то есть пары $(0; 0)$ и $(5; 0)$ . Значение $a = 0$ подходит.

Пусть $a \neq = 0$ . Прямые $t = 2 a x$ и $t = - 2 a x$ различны и пересекаются только в точке $O$ , поэтому точки $P_{2 a}$ и $P_{- 2 a}$ различны. Система имеет решение $O$ и ещё столько решений, сколько из точек $P_{2 a}$ , $P_{- 2 a}$ удовлетворяют найденному условию. Ровно два решения будет тогда, когда подходит ровно одна из этих точек.

Параметр входит в систему только через $a^{2}$ , поэтому вместе с каждым подходящим значением $a$ подходит и $- a$ . Рассмотрим $a > 0$ .

Для прямой $t = - 2 a x$ угловой коэффициент $k = - 2 a < 0 < \frac{2}{5}$ , поэтому точка $P_{- 2 a}$ подходит, если $- 2 a \neq = - \frac{5}{2}$ , то есть при $a \neq = \frac{5}{4}$ .

Для прямой $t = 2 a x$ угловой коэффициент $k = 2 a > 0$ , так что $k \neq = - \frac{5}{2}$ , и точка $P_{2 a}$ подходит при $2 a < \frac{2}{5}$ , то есть при $a < \frac{1}{5}$ .

При $0 < a < \frac{1}{5}$ подходят обе точки — решений три. При $\frac{1}{5} ⩽ a < \frac{5}{4}$ и при $a > \frac{5}{4}$ подходит только $P_{- 2 a}$ — решений ровно два. При $a = \frac{5}{4}$ не подходит ни одна: прямая $t = - 2, 5 x$ касается окружности в точке $O$ , а точка $P_{2, 5}$ лежит над полосой, так что решение одно.

Граничное значение $a = \frac{1}{5}$ входит в ответ: прямая $t = 0, 4 x$ проходит через выколотую точку $B$ , и система имеет ровно два решения — $O$ и $P_{- 0, 4}$ .

По симметрии при $a < 0$ подходят значения $a ⩽ - \frac{1}{5}$ , $a \neq = - \frac{5}{4}$ . Объединим все найденные значения:

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \infty; - \frac{5}{4}) \cup (- \frac{5}{4}; - \frac{1}{5}] \cup {0} \cup [\frac{1}{5}; \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19