ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Симметрия. Переменная $x$ входит в оба уравнения только через $|x|$ и $x^2$, поэтому при замене $x$ на $-x$ уравнения не меняются. Значит, если пара $(x_0;y_0)$ — решение системы, то и пара $(-x_0;y_0)$ — решение. При $x_0\ne 0$ это два различных решения.

Поэтому единственное решение возможно, только если у этого решения $x_0=0$. Это необходимое условие.

Необходимое условие. Подставим $x=0$ в систему:

$$\{\begin{array}{l}5\cdot 2^0+6\cdot 0+7=5y+6\cdot 0-a,\\ 0+y^2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}12=5y-a,\\ y=\pm 1.\end{array}$$

При $y=1$ получаем $12=5-a$, $a=-7$. При $y=-1$ получаем $12=-5-a$, $a=-17$.

Других значений параметра быть не может. Но при найденных $a$ кроме решения с $x=0$ могут найтись и другие, поэтому проверим каждое.

Проверка $a=-17$. Первое уравнение принимает вид

$$5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2+17.$$

Подставим точку $(1;0)$ окружности: слева $10+6+7=23$, справа $0+6+17=23$ — верно. Значит, $(1;0)$ и, по симметрии, $(-1;0)$ — тоже решения, кроме $(0;-1)$. Решение не единственное, $a=-17$ не подходит.

Проверка $a=-7$. Первое уравнение принимает вид

$$5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2+7\iff y=2^{|x|}+\frac{6}{5}|x|\left(1-|x|\right).$$

Точки окружности $x^2+y^2=1$ удовлетворяют условиям $|x|⩽1$ и $y⩽1$. При $|x|⩽1$ имеем $|x|(1-|x|)⩾0$ и $2^{|x|}⩾2^0=1$, поэтому

$$y=2^{|x|}+\frac{6}{5}|x|\left(1-|x|\right)⩾1,$$

причём равенство $2^{|x|}=1$ возможно только при $x=0$. Значит, на окружности должно быть $y=1$ и $x=0$. Точка $(0;1)$ действительно удовлетворяет обоим уравнениям. Других решений нет — решение единственное.

Ответ: $a=-7$.