ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю, то есть $4-y>0$. Разложим числитель на множители группировкой:

$$x{y}^2-2xy-4y+8=xy(y-2)-4(y-2)=(y-2)(xy-4).$$

Система равносильна следующей:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=2,\\ y=\frac{4}{x},\end{array}\\ y<4,\\ y=ax.\end{array}$$

Из $xy=4$ следует $x\ne 0$, поэтому второе уравнение совокупности записано как $y=\frac{4}{x}$.

Множество решений первого уравнения. Это вся прямая $y=2$ (для неё $y=2<4$) и та часть гиперболы $y=\frac{4}{x}$, где $y<4$. Левая ветвь ($x<0$) лежит ниже оси $Ox$ и подходит целиком. На правой ветви $\frac{4}{x}<4$ при $x>1$, поэтому от неё остаётся часть с $x>1$, а точка $(1;4)$ выколота.

Второе уравнение задаёт пучок прямых $y=ax$, проходящих через начало координат (кроме вертикальной). Число решений системы равно числу общих точек прямой $y=ax$ с построенным множеством. Посчитаем их.

С прямой $y=2$: при $a\ne 0$ одна точка $\left(\frac{2}{a};2\right)$; при $a=0$ прямая $y=0$ параллельна прямой $y=2$, общих точек нет.

С гиперболой: $x\cdot ax=4$, то есть $a{x}^2=4$. При $a⩽0$ решений нет. При $a>0$ получаем $x=\pm \frac{2}{\sqrt{a}}$ и точки

$$\left(\frac{2}{\sqrt{a}};2\sqrt{a}\right),\left(-\frac{2}{\sqrt{a}};-2\sqrt{a}\right).$$

Вторая точка лежит на левой ветви и подходит всегда. Первая подходит, когда $2\sqrt{a}<4$, то есть $a<4$.

Совпадение точек: точка $\left(\frac{2}{a};2\right)$ лежит на гиперболе, когда $\frac{2}{a}\cdot 2=4$, то есть $a=1$. Это точка $(2;2)$.

На рисунке граничные положения пунктиром: (1) прямая проходит через выколотую точку $(1;4)$ — это $a=4$; (2) прямая проходит через точку $(2;2)$ пересечения прямой $y=2$ и гиперболы — это $a=1$; (3) прямая совпадает с осью $Ox$ — это $a=0$.

Сведём подсчёт:

• $a<0$: одна точка на прямой $y=2$ — одно решение.
• $a=0$: общих точек нет.
• $0<a<4$, $a\ne 1$: точка на прямой $y=2$ и две точки на гиперболе, все различны — три решения.
• $a=1$: точка $(2;2)$ общая для прямой и гиперболы, вторая точка $(-2;-2)$ — два решения.
• $a⩾4$: точка на прямой $y=2$ и точка на левой ветви — два решения (при $a=4$ прямая проходит через выколотую точку $(1;4)$).

Ответ: $a\in (0;1)\cup (1;4)$.