ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое неравенство. Каждая скобка — сумма двух квадратов, поэтому она неотрицательна, и их произведение тоже неотрицательно. Значит, неравенство $⩽0$ выполняется только тогда, когда произведение равно нулю, то есть когда равна нулю одна из скобок:

$$[\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=0,\\ (x-3{)}^2+(y-2{)}^2=0.\end{array}$$

Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Получаем $x=1$, $y=4$ или $x=3$, $y=2$. Итак, первому неравенству удовлетворяют ровно две точки: $M(1;4)$ и $N(3;2)$.

Условие отсутствия решений. Система не имеет решений тогда и только тогда, когда ни $M$, ни $N$ не удовлетворяют второму неравенству, то есть для обеих точек выполнено обратное строгое неравенство:

$$\{\begin{array}{l}(1-a-1{)}^2+(4-2a-2{)}^2>4(a+1{)}^2,\\ (3-a-1{)}^2+(2-2a-2{)}^2>4(a+1{)}^2.\end{array}$$

Геометрически второе неравенство системы задаёт круг с центром $(a+1;2a+2)$ и радиусом $2|a+1|$, и мы требуем, чтобы обе точки лежали вне этого круга.

Первое неравенство. Раскроем скобки:

$$a^2+(2-2a{)}^2>4(a+1{)}^2\iff a^2+4-8a+4a^2>4a^2+8a+4\iff a^2-16a>0\iff a(a-16)>0.$$

Получаем $a<0$ или $a>16$.

Второе неравенство. Раскроем скобки:

$$(2-a{)}^2+4a^2>4(a+1{)}^2\iff 4-4a+a^2+4a^2>4a^2+8a+4\iff a^2-12a>0\iff a(a-12)>0.$$

Получаем $a<0$ или $a>12$.

Пересечём найденные множества:

Заметим, что при $a=-1$ радиус равен нулю и второе неравенство задаёт одну точку $(0;0)$, которая не совпадает ни с $M$, ни с $N$. Решений нет, и это значение действительно входит в найденный промежуток $a<0$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )$.