ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители. Заметим, что $x^4-2x^2+1={\left(x^2-1\right)}^2$, и вынесем из каждого слагаемого множитель $x-1$:

$$x\left(x^2-1\right)=(x-1)\left(x^2+x\right),{\left(x^2-1\right)}^2=(x-1)(x+1)\left(x^2-1\right).$$

Уравнение примет вид

$$(x-1)\left(a^2-a\left(x^2+x\right)+\left(x^2-1\right)(x+1)\right)=0.$$

Выражение во второй скобке — квадратный трёхчлен относительно $a$. По теореме Виета его корни $a_1$, $a_2$ должны удовлетворять условиям

$$a_1+a_2=x^2+x,a_1\cdot a_2=\left(x^2-1\right)(x+1).$$

Этим условиям удовлетворяют $a_1=x^2-1$ и $a_2=x+1$. Значит, уравнение равносильно

$$(x-1)\left(a-x^2+1\right)(a-x-1)=0\iff [\begin{array}{l}x=1,\\ a=x^2-1,\\ a=x+1.\end{array}$$

Графики в плоскости $(x;a)$. Будем откладывать $a$ по вертикальной оси. Совокупность задаёт вертикальную прямую $x=1$, параболу $a=x^2-1$ с вершиной $(0;-1)$ и прямую $a=x+1$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этими графиками.

Найдём точки пересечения графиков. Парабола и прямая $x=1$: $(1;0)$. Прямая $a=x+1$ и прямая $x=1$: $(1;2)$. Парабола и прямая $a=x+1$: $x^2-1=x+1$, $x^2-x-2=0$, $x=-1$ или $x=2$, точки $(-1;0)$ и $(2;3)$.

Подсчёт корней. При любом $a$ есть корень $x=1$ и корень $x=a-1$ (с прямой $a=x+1$). Парабола даёт корни $x=\pm \sqrt{a+1}$: ни одного при $a<-1$, один при $a=-1$ и два при $a>-1$. Корни из разных графиков могут совпасть только в точках пересечения графиков, то есть при $a=0$, $a=2$ и $a=3$. Будем поднимать горизонтальную прямую снизу вверх:

• $a<-1$: прямая не пересекает параболу. Корни $x=1$ и $x=a-1<-2$ различны — ровно два корня.
• $a=-1$: прямая касается параболы в вершине. Корни $x=1$, $x=-2$, $x=0$ — три корня.
• $-1<a<0$: корни $x=1$, $x=a-1\in (-2;-1)$ и $x=\pm \sqrt{a+1}$, где $0<\sqrt{a+1}<1$. Все четыре различны — больше двух.
• $a=0$: прямая проходит через точки $(1;0)$ и $(-1;0)$. Корни $x=1$, $x=a-1=-1$, $x=\pm 1$ — различных только два: $x=\pm 1$.
• $0<a<2$: точек пересечения графиков на прямой нет — четыре различных корня.
• $a=2$: прямая проходит через $(1;2)$. Корни $x=1$ (дважды) и $x=\pm \sqrt{3}$ — три корня.
• $2<a<3$: четыре различных корня.
• $a=3$: прямая проходит через $(2;3)$. Корни $x=1$, $x=2$ (дважды) и $x=-2$ — три корня.
• $a>3$: четыре различных корня.

Ровно два различных корня получаются при $a<-1$ и при $a=0$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup \{0\}$.