ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $a>0$ (параметр стоит под знаком логарифма).

Приведём логарифмы к одному. Пусть $b={\log }_{125}a$. Так как ${\log }_{125}a=\frac{{\log }_{5}a}{3}$ и ${\log }_{25}a=\frac{{\log }_{5}a}{2}$, получаем ${\log }_{5}a=3b$ и ${\log }_{25}a=\frac{3b}{2}$. Кроме того, ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{|x|}=5^{-|x|}$. Уравнение примет вид

$$5^{x^2}\left(1+\frac{3b}{2}\right)=5^{-|x|}(b+1).$$

Умножим обе части на $5^{|x|}>0$:

$$5^{x^2+|x|}\left(1+\frac{3b}{2}\right)=b+1.$$

Если $b=-\frac{2}{3}$, то левая часть равна нулю, а правая $\frac{1}{3}$: получаем $0=\frac{1}{3}$, решений нет.

Если $b\ne -\frac{2}{3}$, разделим на $1+\frac{3b}{2}$:

$$5^{x^2+|x|}=\frac{b+1}{1+\frac{3b}{2}}.$$

Найдём множество значений левой части. Выражение $x^2+|x|=|x{|}^2+|x|$ неотрицательно, равно нулю при $x=0$, непрерывно и неограниченно растёт при $|x|\to +\infty$. Значит, оно принимает все значения из $[0;+\infty )$, а функция $5^{x^2+|x|}$ — все значения из $[5^0;+\infty )=[1;+\infty )$.

Поэтому уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда

$$\frac{b+1}{1+\frac{3b}{2}}⩾1\iff \frac{b+1-1-\frac{3b}{2}}{1+\frac{3b}{2}}⩾0\iff \frac{-\frac{b}{2}}{1+\frac{3b}{2}}⩾0\iff \frac{b}{3b+2}⩽0.$$

В последнем переходе числитель и знаменатель умножили на $2$, а затем всю дробь — на $-1$, сменив знак неравенства. Решим методом интервалов:

Получаем $-\frac{2}{3}<b⩽0$; значение $b=-\frac{2}{3}$ сюда не входит, что согласуется с разобранным выше случаем.

Вернёмся к $a$. Основание $125>1$, поэтому логарифм возрастает, и знаки неравенств сохраняются:

$$-\frac{2}{3}<{\log }_{125}a⩽0\iff 125^{-\frac{2}{3}}<a⩽125^0\iff \frac{1}{25}<a⩽1.$$

Здесь $125^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{125}\right)}^2=25$. Все такие $a$ положительны, ОДЗ выполнено.

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{25};1\right]$.