ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Запишем степени через $5^x$ и $4^x$: $25^x={\left(5^x\right)}^2$, $20^x=5^x\cdot 4^x$, $16^x={\left(4^x\right)}^2$. Перенесём всё в левую часть:

$$(a-1)\cdot 5^{2x}+(2a-14)\cdot 5^x\cdot 4^x-(3a-15)\cdot 4^{2x}=0.$$

Так как $4^{2x}>0$ при любом $x$, разделим обе части на $4^{2x}$:

$$(a-1){\left(\frac{5}{4}\right)}^{2x}+(2a-14){\left(\frac{5}{4}\right)}^x-(3a-15)=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{4}\right)}^x$. Функция ${\left(\frac{5}{4}\right)}^x$ возрастает и принимает все положительные значения, причём каждое ровно один раз. Поэтому каждый корень $t>0$ даёт ровно один корень $x$, а корни $t⩽0$ корней $x$ не дают. Уравнение принимает вид

$$(a-1)t^2+(2a-14)t-(3a-15)=0,(\ast )$$

и задача сводится к такой: найти все $a$, при которых уравнение $(\ast )$ имеет ровно один положительный корень.

Случай $a=1$. Уравнение линейное: $-12t+12=0$, $t=1>0$. Ровно один положительный корень — значение $a=1$ подходит.

Случай $a\ne 1$. Уравнение квадратное. Сумма его коэффициентов $(a-1)+(2a-14)-(3a-15)=0$, поэтому $t_1=1$ — корень при любом $a$. Второй корень найдём по теореме Виета из произведения корней:

$$t_1\cdot t_2=\frac{-(3a-15)}{a-1}\Rightarrow t_2=\frac{15-3a}{a-1}.$$

Корень $t_1=1$ положителен, поэтому положительный корень ровно один в двух случаях: второй корень неположителен или совпадает с первым.

Первый случай: $t_2⩽0$.

$$\frac{15-3a}{a-1}⩽0\iff \frac{3(5-a)}{a-1}⩽0\iff \frac{a-5}{a-1}⩾0.$$

Получаем $a<1$ или $a⩾5$. Например, при $a=5$ второй корень $t_2=0$ не положителен, и корень $x$ один.

Второй случай: $t_2=1$.

$$\frac{15-3a}{a-1}=1\iff 15-3a=a-1\iff a=4.$$

Проверка: при $a=4$ уравнение $(\ast )$ имеет вид $3t^2-6t+3=0$, то есть $3(t-1{)}^2=0$ — единственный корень $t=1$.

Объединим все случаи:

Ответ: $a\in (-\infty ;1]\cup \{4\}\cup [5;+\infty )$.