ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$. Сделаем замену $y=x+\frac{4}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{y}^2+4y-64a+32=0.(\ast )$$

Сколько корней $x$ даёт одно значение $y$. Умножим равенство $x+\frac{4}{x}=y$ на $x\ne 0$:

$$x^2-yx+4=0,D=y^2-16.$$

Число $x=0$ корнем этого уравнения не бывает ($0-0+4\ne 0$). Значит, при $|y|>4$ получаем два различных $x$, при $|y|=4$ — один, при $|y|<4$ — ни одного. Разным значениям $y$ соответствуют разные $x$, так как каждое $x$ даёт ровно одно значение $y$.

Корень $y=-8$. Подставим $y=-8$ в $(\ast )$: $64a-32-64a+32=0$ — верно при любом $a$. Так как $|-8|>4$, этот корень всегда даёт два различных корня $x$. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда у $(\ast )$ нет других корней $y$ с $|y|⩾4$.

Случай $a=0$. Уравнение линейное: $4y+32=0$, $y=-8$. Других корней нет, исходное уравнение имеет ровно два корня. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение $(\ast )$ квадратное, его дискриминант — полный квадрат:

$$D=16-4a(32-64a)=256a^2-128a+16=(16a-4{)}^2.$$

Корни:

$$y=\frac{-4\pm (16a-4)}{2a},y_1=\frac{16a-8}{2a}=\frac{8a-4}{a},y_2=\frac{-16a}{2a}=-8.$$

Если $D=0$, то есть $a=\frac{1}{4}$, то корни совпадают: $y_1=y_2=-8$. Исходное уравнение имеет ровно два корня, значение $a=\frac{1}{4}$ подходит.

Если $a\ne \frac{1}{4}$, то $y_1\ne -8$, и корень $y_1$ не должен давать новых корней $x$: нужно $|y_1|<4$ (при $|y_1|=4$ добавится один корень, при $|y_1|>4$ — два):

$$\left|\frac{8a-4}{a}\right|<4\iff \left(\frac{8a-4}{a}-4\right)\left(\frac{8a-4}{a}+4\right)<0\iff \frac{4a-4}{a}\cdot \frac{12a-4}{a}<0.$$

Вынесем числовые множители $4$ и $12$ (они положительны и знак не меняют):

$$\frac{(a-1)\left(a-\frac{1}{3}\right)}{a^2}<0.$$

Решим методом интервалов, знаменатель положителен при $a\ne 0$:

Получаем $\frac{1}{3}<a<1$. Значение $a=\frac{1}{4}$ сюда не входит, так как $\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$.

Объединим все найденные значения:

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{1}{4}\right\}\cup \left(\frac{1}{3};1\right)$.