Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Первое уравнение. Равенство двух арифметических корней означает, что подкоренные выражения равны и неотрицательны:
Второе условие писать не нужно: при оно совпадает с первым. Исходная система равносильна системе
Сначала решим систему из двух уравнений, в которой нет параметра, а потом наложим неравенство.
Симметрия. Переменная входит в систему только через и . Поэтому если пара — решение, то и пара — решение.
При из получаем , но тогда второе уравнение даёт — неверно. Значит, у решений , и они разбиваются на пары , . Найдём решения с , а остальные получим отражением.
Решения с . Тогда , а из во втором уравнении :
Из следует или .
Пусть . Тогда , . С учётом получаем и пару .
Пусть . Тогда , то есть , . Так как , подходит только , и получаем пару .
Итак, без учёта неравенства система имеет четыре решения:
Учтём неравенство . Оно зависит только от , поэтому решения из одной пары подходят или не подходят одновременно. Для первой пары , для второй
- Если , то есть , то неравенство выполнено для обеих пар — четыре решения.
- Если , то есть , то подходит только вторая пара — ровно два решения.
- Если , то не подходит ни одна пара — решений нет.
Ответ: .