ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Корень определён при $2x+y+6⩾0$, поэтому

$$(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{x}^2+y^2+4x=0,\\ 2x+y+6=0,\end{array}\\ 2x+y+6⩾0.\end{array}$$

Уравнение $x^2+4x+y^2=0$, то есть $(x+2{)}^2+y^2=4$, задаёт окружность с центром $O(-2;0)$ и радиусом $2$. Уравнение $2x+y+6=0$ задаёт прямую $\ell$: $y=-2x-6$. Неравенство задаёт полуплоскость над прямой $\ell$ вместе с самой прямой. Для точек прямой $\ell$ неравенство выполнено автоматически. Итак, множество решений первого уравнения — вся прямая $\ell$ и часть окружности, лежащая в полуплоскости $2x+y+6⩾0$.

Найдём точки пересечения прямой $\ell$ с окружностью:

$$(x+2{)}^2+(-2x-6{)}^2=4\iff 5x^2+28x+36=0,D=784-720=64,$$

$$x=\frac{-28\pm 8}{10},x=-2\text{ или }x=-3,6.$$

Получаем точки $A(-2;-2)$ и $B(-3,6;1,2)$. Центр $O$ лежит в полуплоскости: $2\cdot (-2)+0+6=2>0$. Значит, от окружности остаётся большая дуга $AB$ вместе с концами, а меньшая дуга $AB$ (без концов) отбрасывается.

Второе уравнение. Уравнение $y=x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $1$. Будем считать общие точки такой прямой с полученным множеством.

С прямой $\ell$ общая точка ровно одна при любом $a$ (угловые коэффициенты $1$ и $-2$ различны):

$$x+a=-2x-6\iff x_0=-\frac{a+6}{3}.$$

С окружностью. Подставим $y=x+a$:

$$x^2+(x+a{)}^2+4x=0\iff q(x)=2x^2+(2a+4)x+a^2=0,$$

$$\frac{D}{4}=(a+2{)}^2-2a^2=-a^2+4a+4.$$

Дискриминант положителен при $a^2-4a-4<0$, то есть при $2-2\sqrt{2}<a<2+2\sqrt{2}$; при $a=2\pm 2\sqrt{2}$ прямая касается окружности.

Какие из этих точек остаются. Для точки окружности с абсциссой $x$, лежащей на прямой $y=x+a$, имеем $2x+y+6=3x+a+6$. Условие $2x+y+6⩾0$ равносильно $x⩾x_0$. Значит, нужно понять, как корни $q(x)$ расположены относительно числа $x_0$. Вычислим

$$q(x_0)=\frac{2(a+6{)}^2}{9}-\frac{(2a+4)(a+6)}{3}+a^2=\frac{2(a+6{)}^2-3(2a+4)(a+6)+9a^2}{9}=\frac{5a^2-24a}{9}=\frac{a(5a-24)}{9}.$$

Абсцисса вершины параболы $x_{\text{в}}=-\frac{a+2}{2}$, и

$$x_{\text{в}}-x_0=-\frac{a+2}{2}+\frac{a+6}{3}=\frac{6-a}{6}>0\text{при }a<6.$$

Разберём случаи (все значения $a$, при которых окружность вообще пересекается, меньше $6$: $2+2\sqrt{2}<6$).

1. $0<a<\frac{24}{5}$. Тогда $q(x_0)<0$, и $x_0$ лежит строго между корнями. Один корень меньше $x_0$ — эта точка лежит на отброшенной дуге. Другой больше $x_0$ — точка большой дуги, не лежащая на $\ell$. Всего решений $1+1=2$.

2. $a=0$ или $a=\frac{24}{5}$. Тогда $q(x_0)=0$: прямая проходит через $A$ или через $B$, и эта точка совпадает с точкой пересечения с $\ell$. Второй корень находим по теореме Виета (сумма корней $-(a+2)$). При $a=0$: $x_0=-2$, второй корень $0>-2$ — точка $(0;0)$ большой дуги. При $a=\frac{24}{5}$: $x_0=-3,6$, второй корень $-6,8+3,6=-3,2>-3,6$ — точка $(-3,2;1,6)$ большой дуги. Всего решений $2$.

3. $2-2\sqrt{2}⩽a<0$ или $\frac{24}{5}<a⩽2+2\sqrt{2}$. Тогда $q(x_0)>0$, и $x_0$ лежит вне отрезка между корнями. Так как вершина правее $x_0$, оба корня больше $x_0$: все общие точки с окружностью лежат на большой дуге и не лежат на $\ell$. При $D>0$ решений $1+2=3$, при касании ($a=2\pm 2\sqrt{2}$) решений $1+1=2$.

4. $a<2-2\sqrt{2}$ или $a>2+2\sqrt{2}$. С окружностью общих точек нет, решение одно — точка на $\ell$.

Сравним граничные значения: $2-2\sqrt{2}<0$ и $\frac{24}{5}<2+2\sqrt{2}$, так как $\frac{14}{5}<2\sqrt{2}\iff \frac{196}{25}<8$.

На рисунке граничные положения показаны пунктиром. Прямые при $a=\frac{24}{5}=4,8$ и $a=2+2\sqrt{2}\approx 4,83$ почти сливаются: первая проходит через $B$, вторая касается окружности немного правее.

Итог: два решения при $a=2-2\sqrt{2}$, при $0⩽a⩽\frac{24}{5}$ и при $a=2+2\sqrt{2}$; три решения при $2-2\sqrt{2}<a<0$ и при $\frac{24}{5}<a<2+2\sqrt{2}$; одно решение при остальных $a$.

Ответ: $a\in \left\{2-2\sqrt{2}\right\}\cup \left[0;\frac{24}{5}\right]\cup \left\{2+2\sqrt{2}\right\}$.