ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Перенесём $4$ в левую часть, а правую часть разложим на множители:

$$x|x|-4x-4=a(x+1).(\ast )$$

Будем решать задачу графически на плоскости $Oxy$: корни уравнения — абсциссы общих точек графика $y=f(x)$, где $f(x)=x|x|-4x-4$, и прямой $y=a(x+1)$.

График левой части. При $x⩾0$ получаем $f(x)=x^2-4x-4$ — дугу параболы с ветвями вверх и вершиной

$$x_{\text{в}}=\frac{4}{2}=2,y_{\text{в}}=4-8-4=-8.$$

При $x<0$ получаем $f(x)=-x^2-4x-4=-(x+2{)}^2$ — дугу параболы с ветвями вниз и вершиной $(-2;0)$. При $x=0$ обе формулы дают $-4$, так что график непрерывен.

Правая часть. Уравнение $y=a(x+1)$ задаёт пучок прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $P(-1;0)$. Сама точка $P$ графику не принадлежит: $f(-1)=-1\ne 0$.

Положение касания. Найдём, когда прямая касается левой дуги $y=-(x+2{)}^2$:

$$-x^2-4x-4=a(x+1)\iff x^2+(a+4)x+(a+4)=0.$$

Касание соответствует нулевому дискриминанту:

$$D=(a+4{)}^2-4(a+4)=a(a+4)=0\iff a=0\text{ или }a=-4.$$

Абсцисса точки касания $x=-\frac{a+4}{2}$. При $a=0$ она равна $-2<0$ — прямая $y=0$ касается левой дуги в её вершине $(-2;0)$. При $a=-4$ она равна $0$, а левая дуга задана при $x<0$, так что это касание не с левой дугой (прямая $y=-4x-4$ проходит через точку стыка $(0;-4)$).

Подсчёт общих точек. Обоснуем картинку аккуратно, отдельно для каждой дуги.

Правая дуга ($x⩾0$): $x^2-4x-4=ax+a\iff \phi (x)=x^2-(a+4)x-(a+4)=0$. Здесь $\phi (0)=-(a+4)$.

• При $a>-4$ имеем $\phi (0)<0$: парабола с ветвями вверх отрицательна в нуле, поэтому один корень отрицателен, а другой положителен. На правой дуге одна точка.
• При $a=-4$ уравнение $x^2=0$ даёт $x=0$ — одна точка $(0;-4)$.
• При $a<-4$ имеем $\phi (0)>0$, а вершина $x=\frac{a+4}{2}<0$, поэтому на $[0;+\infty )$ функция $\phi$ возрастает и положительна. Точек нет.

Левая дуга ($x<0$): $\psi (x)=x^2+(a+4)x+(a+4)=0$, $D=a(a+4)$.

• При $a<-4$ имеем $\psi (0)=a+4<0$: один корень отрицателен, другой положителен. Одна точка.
• При $a=-4$ уравнение $x^2=0$ даёт $x=0$, но нужно $x<0$. Точек нет.
• При $-4<a<0$ дискриминант отрицателен. Точек нет.
• При $a=0$ — касание в точке $(-2;0)$, одна точка.
• При $a>0$ дискриминант положителен, произведение корней $a+4>0$, сумма $-(a+4)<0$, поэтому оба корня отрицательны. Две точки.

Дуги не имеют общих точек ($x⩾0$ и $x<0$), поэтому числа складываются:

$$\begin{array}{cccccc}a& a<-4& -4& (-4;0)& 0& a>0\\ \text{правая дуга}& 0& 1& 1& 1& 1\\ \text{левая дуга}& 1& 0& 0& 1& 2\\ \text{всего}& 1& 1& 1& 2& 3\end{array}$$

На рисунке: при $a<0$ прямая пучка пересекает график ровно один раз, граничное положение — касательная $y=0$ (ось $Ox$), а при $a>0$ общих точек три.

Единственное решение будет при всех $a<0$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)$.