ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель имеет смысл и не равен нулю. Знаменатель определён и отличен от нуля при $10x-x^2-a^2>0$. Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x-a-7=0,\\ x+a-2=0,\end{array}\\ 10x-x^2-a^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a=x-7,\\ a=2-x,\end{array}\\ (x-5{)}^2+a^2<25.\end{array}$$

Неравенство преобразовано выделением полного квадрата: $10x-x^2=25-(x-5{)}^2$.

Будем решать задачу на плоскости $(x;a)$, откладывая $a$ по вертикальной оси. Уравнения $a=x-7$ и $a=2-x$ задают прямые с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$. Неравенство задаёт внутренность круга с центром $(5;0)$ и радиусом $5$ без граничной окружности. Условие $x\in [4;8]$ задаёт вертикальную полосу между прямыми $x=4$ и $x=8$ вместе с границами. При фиксированном $a$ корни уравнения на отрезке $[4;8]$ — это абсциссы общих точек горизонтальной прямой с полученным множеством.

Прямая $a=x-7$. В полосе это отрезок с концами $(4;-3)$ и $(8;1)$. Оба конца лежат внутри круга: $(4-5{)}^2+(-3{)}^2=10<25$ и $(8-5{)}^2+1^2=10<25$. Круг выпуклый, поэтому весь отрезок лежит внутри круга. Каждому $a\in [-3;1]$ соответствует ровно одна его точка с $x_1=a+7$.

Прямая $a=2-x$. В полосе её концы — $(4;-2)$ и $(8;-6)$. Первый лежит внутри круга ($1+4=5<25$), второй — снаружи ($9+36=45>25$). Найдём, где прямая выходит из круга:

$$(x-5{)}^2+(2-x{)}^2=25\iff 2x^2-14x+4=0\iff x^2-7x+2=0,D=49-8=41.$$

Корни $x=\frac{7\pm \sqrt{41}}{2}$. В полосу попадает только $x=\frac{7+\sqrt{41}}{2}\approx 6,7$; ему соответствует $a=2-x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}\approx -4,7$. Значит, от этой прямой остаётся отрезок от точки $(4;-2)$ (включая её) до точки $\left(\frac{7+\sqrt{41}}{2};\frac{-3-\sqrt{41}}{2}\right)$ (не включая её: она лежит на окружности). Каждому $a\in \left(\frac{-3-\sqrt{41}}{2};-2\right]$ соответствует ровно одна его точка с $x_2=2-a$.

Точка пересечения отрезков. Из $x-7=2-x$ получаем $x=4,5$, $a=-2,5$. При этом значении корни $x_1$ и $x_2$ совпадают.

Будем поднимать горизонтальную прямую $a=\text{const}$ снизу вверх и считать общие точки. Граничные положения — прямые через концы отрезков и через точку их пересечения:

• $a⩽\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$: общих точек нет, корней нет.
• $\frac{-3-\sqrt{41}}{2}<a<-3$: прямая пересекает только отрезок $a=2-x$ — один корень.
• $a=-3$: прямая проходит через конец $(4;-3)$ первого отрезка и пересекает второй в точке $(5;-3)$ — два корня $x=4$ и $x=5$.
• $-3<a<-2$, $a\ne -2,5$: прямая пересекает оба отрезка в разных точках — два корня.
• $a=-2,5$: прямая проходит через точку пересечения $(4,5;-2,5)$ — один корень $x=4,5$.
• $a=-2$: прямая проходит через конец $(4;-2)$ второго отрезка и пересекает первый в точке $(5;-2)$ — два корня.
• $-2<a⩽1$: прямая пересекает только отрезок $a=x-7$ — один корень (при $a=1$ это его конец $(8;1)$, он входит в множество).
• $a>1$: корней нет.

Ровно один корень получается на трёх участках:

Ответ: $a\in \left(\frac{-3-\sqrt{41}}{2};-3\right)\cup \{-2,5\}\cup (-2;1]$.