ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Симметрия. Если пара $(x_0;y_0)$ — решение системы, то и пара $(y_0;x_0)$ — решение: при перестановке $x$ и $y$ не меняются ни $x^2+y^2$, ни $|x-y|$, ни $x+y$.

Решения с $x_0\ne y_0$ разбиваются на пары различных решений $(x_0;y_0)$ и $(y_0;x_0)$, поэтому их чётное число. Значит, число решений может быть нечётным, только если у системы есть решение с $x=y$. Такое решение не больше одного: из $x+y=a$ при $x=y$ получаем $x=y=\frac{a}{2}$.

Необходимое условие. Подставим $x=y$ в систему:

$$\{\begin{array}{l}2x^2=8|x-x|+8|a|,\\ 2x=a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=4|a|,\\ x=\frac{a}{2}.\end{array}$$

Подставим $x=\frac{a}{2}$ в первое уравнение:

$$\frac{a^2}{4}=4|a|\iff |a{|}^2-16|a|=0\iff |a|\left(|a|-16\right)=0\iff [\begin{array}{l}a=0,\\ a=\pm 16.\end{array}$$

При остальных $a$ число решений чётно (возможно, равно нулю), и они не подходят.

Проверка. При найденных $a$ нужно убедиться, что решений конечное число, и пересчитать их. Любую точку прямой $x+y=a$ можно записать как

$$x=\frac{a}{2}+t,y=\frac{a}{2}-t,$$

где $t=\frac{x-y}{2}$. Тогда $x^2+y^2=\frac{a^2}{2}+2t^2$ (удвоенные произведения $\pm at$ сокращаются) и $|x-y|=2|t|$. Первое уравнение принимает вид

$$\frac{a^2}{2}+2t^2=16|t|+8|a|\iff t^2-8|t|+\left(\frac{a^2}{4}-4|a|\right)=0.$$

При $a=0$ и при $|a|=16$ свободный член равен нулю: $0-0=0$ и $64-64=0$. Уравнение превращается в

$$t^2-8|t|=0\iff |t|\left(|t|-8\right)=0\iff t\in \{-8;0;8\}.$$

Получаем ровно три решения:

• при $a=0$: $(0;0)$, $(8;-8)$, $(-8;8)$;
• при $a=16$: $(8;8)$, $(16;0)$, $(0;16)$;
• при $a=-16$: $(-8;-8)$, $(0;-16)$, $(-16;0)$.

Три — нечётное число, значит, все три значения параметра подходят.

Графическая иллюстрация. Подставим $a=x+y$ в первое уравнение: $x^2+y^2=8|x-y|+8|x+y|$. Прямые $y=x$ и $y=-x$ делят плоскость на четыре угла, и в каждом модули раскрываются однозначно. Например, при $x-y⩾0$, $x+y⩾0$ получаем $x^2+y^2=16x$, то есть $(x-8{)}^2+y^2=64$. Аналогично в остальных углах получаются окружности $x^2+(y+8{)}^2=64$, $x^2+(y-8{)}^2=64$ и $(x+8{)}^2+y^2=64$. В свой угол каждая окружность попадает полуокружностью и ещё точкой $(0;0)$. Второе уравнение задаёт прямую $y=a-x$, параллельную прямой $y=-x$. Нечётное число общих точек получается, только когда прямая проходит через $(-8;-8)$, $(0;0)$ или $(8;8)$:

Ответ: $a\in \{-16;0;16\}$.