ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Подставим $y=x+a$ из второго уравнения в первое: $y+3x-9=4x+a-9$, и получим

$$(x-3)(4x+a-9)=|x-3{|}^3.$$

Каждому корню $x$ этого уравнения соответствует ровно одно решение системы $(x;x+a)$. Значит, система имеет столько решений, сколько различных корней у этого уравнения.

Раскроем модуль. При $x⩾3$ имеем $|x-3{|}^3=(x-3{)}^3$:

$$(x-3)\left(4x+a-9-(x-3{)}^2\right)=0\iff (x-3)(x^2-10x+18-a)=0.$$

При $x<3$ имеем $|x-3{|}^3=-(x-3{)}^3$:

$$(x-3)\left(4x+a-9+(x-3{)}^2\right)=0\iff (x-3)(x^2-2x+a)=0.$$

Во втором случае $x-3\ne 0$, и на этот множитель можно сократить. Уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}(x-3)(x^2-10x+18-a)=0,\\ x⩾3;\end{array}(1)\\ \{\begin{array}{l}{x}^2-2x+a=0,\\ x<3.\end{array}(2)\end{array}$$

Решения систем (1) и (2) не пересекаются ($x⩾3$ и $x<3$), поэтому общее число корней $N=N_1+N_2$, где $N_1$ и $N_2$ — число решений систем (1) и (2).

Система (1). Число $x=3$ — её решение при любом $a$. Остальные решения — корни уравнения $x^2-10x+18-a=0$, не меньшие $3$. Его дискриминант $\frac{D}{4}=25-18+a=7+a$, корни

$$x=5\pm \sqrt{7+a}(a⩾-7).$$

Больший корень $5+\sqrt{7+a}⩾5>3$ подходит всегда, когда существует. Меньший корень больше $3$, когда

$$5-\sqrt{7+a}>3\iff \sqrt{7+a}<2\iff -7⩽a<-3.$$

При $a=-3$ меньший корень равен $3$ и совпадает с уже найденным решением $x=3$. Получаем:

• при $a<-7$ корней у квадратного уравнения нет, $N_1=1$;
• при $a=-7$ корень $x=5$ двойной, $N_1=2$;
• при $-7<a<-3$ оба корня больше $3$, $N_1=3$;
• при $a⩾-3$ подходит только больший корень, $N_1=2$.

Система (2). Уравнение $x^2-2x+a=0$: $\frac{D}{4}=1-a$, корни

$$x=1\pm \sqrt{1-a}(a⩽1).$$

Меньший корень $1-\sqrt{1-a}⩽1<3$ подходит всегда, когда существует. Больший корень меньше $3$, когда

$$1+\sqrt{1-a}<3\iff \sqrt{1-a}<2\iff -3<a⩽1.$$

Получаем:

• при $a>1$ корней нет, $N_2=0$;
• при $a=1$ корень $x=1$ двойной, $N_2=1$;
• при $-3<a<1$ оба корня меньше $3$, $N_2=2$;
• при $a⩽-3$ подходит только меньший корень, $N_2=1$.

Сложим. Четыре решения получаются в двух случаях: система (1) имеет три решения, а система (2) — одно, или каждая система имеет по два решения. Сведём всё в таблицу:

$$\begin{array}{cccccccc}a& a<-7& -7& (-7;-3)& -3& (-3;1)& 1& a>1\\ N_1& 1& 2& 3& 2& 2& 2& 2\\ N_2& 1& 1& 1& 1& 2& 1& 0\\ N& 2& 3& 4& 3& 4& 3& 2\end{array}$$

Первый случай ($N_1=3$, $N_2=1$) даёт $a\in (-7;-3)$, второй ($N_1=N_2=2$) даёт $a\in (-3;1)$. При $a=-3$ решений три: $x=3$, $x=7$ и $x=-1$.

Ответ: $a\in (-7;-3)\cup (-3;1)$.