ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$. Сделаем замену $y=x+\frac{9}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{y}^2+3y-49a+21=0.(\ast )$$

Сколько корней $x$ даёт одно значение $y$. Умножим равенство $x+\frac{9}{x}=y$ на $x\ne 0$:

$$x^2-yx+9=0,D=y^2-36.$$

Число $x=0$ корнем этого уравнения не бывает ($0-0+9\ne 0$), поэтому все его корни годятся. Значит, при $|y|>6$ получаем два различных $x$, при $|y|=6$ — один, при $|y|<6$ — ни одного. Разным значениям $y$ соответствуют разные $x$: каждое $x$ даёт ровно одно значение $y=x+\frac{9}{x}$.

Итак, число корней исходного уравнения равно сумме: по два корня за каждое решение $(\ast )$ с $|y|>6$ и по одному за каждое решение с $|y|=6$.

Корень $y=-7$. Подставим $y=-7$ в $(\ast )$: $49a-21-49a+21=0$ — верно при любом $a$. Так как $|-7|>6$, этот корень всегда даёт два различных корня $x$. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда у $(\ast )$ нет других корней $y$ с $|y|⩾6$.

Случай $a=0$. Уравнение $(\ast )$ линейное: $3y+21=0$, $y=-7$. Других корней нет, значит, исходное уравнение имеет ровно два корня. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение $(\ast )$ квадратное. Его дискриминант — полный квадрат:

$$D=9-4a(21-49a)=196a^2-84a+9=(14a-3{)}^2.$$

Корни:

$$y=\frac{-3\pm (14a-3)}{2a},y_1=\frac{14a-6}{2a}=\frac{7a-3}{a},y_2=\frac{-14a}{2a}=-7.$$

Если $D=0$, то есть $a=\frac{3}{14}$, корни совпадают: $y_1=y_2=-7$. Других корней нет, исходное уравнение имеет ровно два корня. Значение $a=\frac{3}{14}$ подходит.

Если $a\ne \frac{3}{14}$, то $y_1\ne -7$. Корень $y_1$ не должен давать новых корней $x$, то есть нужно $|y_1|<6$ (при $|y_1|=6$ добавится ещё один корень, при $|y_1|>6$ — ещё два):

$$\left|\frac{7a-3}{a}\right|<6\iff {\left(\frac{7a-3}{a}\right)}^2-6^2<0\iff \left(\frac{7a-3}{a}-6\right)\left(\frac{7a-3}{a}+6\right)<0.$$

Приведём каждую скобку к общему знаменателю:

$$\frac{a-3}{a}\cdot \frac{13a-3}{a}<0\iff \frac{(a-3)(13a-3)}{a^2}<0.$$

Решим неравенство методом интервалов. Знаменатель $a^2$ положителен при $a\ne 0$, и на знак влияют только множители числителя:

Получаем $\frac{3}{13}<a<3$. Значение $a=\frac{3}{14}$ в этот промежуток не входит, так как $\frac{3}{14}<\frac{3}{13}$, поэтому на этом промежутке действительно $y_1\ne -7$.

Объединим все подходящие значения:

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{3}{14}\right\}\cup \left(\frac{3}{13};3\right)$.