ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}f(x)=g^2(x),\\ g(x)⩾0.\end{array}$$

Условие $f(x)⩾0$ отдельно писать не нужно: оно выполнится само, так как $f(x)=g^2(x)⩾0$. Для нашего уравнения получаем систему

$$\{\begin{array}{l}{x}^4-x^2+a^2=(x^2+x-a{)}^2,(1)\\ x^2+x-a⩾0.(2)\end{array}$$

Возведём трёхчлен в квадрат по формуле $(p+q-r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2pq-2pr-2qr$, где $p=x^2$, $q=x$, $r=a$:

$$(x^2+x-a{)}^2=x^4+x^2+a^2+2x^3-2a{x}^2-2ax.$$

Уравнение (1) примет вид

$$x^4-x^2+a^2=x^4+x^2+a^2+2x^3-2a{x}^2-2ax\iff 2x^3+2x^2-2a{x}^2-2ax=0.$$

Разложим левую часть на множители, сгруппировав слагаемые попарно:

$$2x^2(x+1)-2ax(x+1)=0\iff 2x(x+1)(x-a)=0.$$

Получаем три кандидата в корни: $x_1=0$, $x_2=-1$, $x_3=a$. Каждый из них — корень исходного уравнения тогда и только тогда, когда для него выполнено условие (2). Проверим:

$$\begin{array}{l}{x}_1=0:0+0-a⩾0\iff a⩽0;\\ x_2=-1:1-1-a⩾0\iff a⩽0;\\ x_3=a:a^2+a-a=a^2⩾0\text{— верно при всех }a.\end{array}$$

Если $a>0$, то подходит только $x_3=a$, и корень один.

Если $a⩽0$, то подходят все три кандидата, но некоторые из них могут совпасть. Числа $0$ и $-1$ различны. Равенство $x_3=x_1$ означает $a=0$, равенство $x_3=x_2$ означает $a=-1$. При $a=0$ корни — $0$ и $-1$, при $a=-1$ корни — тоже $0$ и $-1$: в обоих случаях различных корней два.

Значит, ровно три различных решения будут при $a<0$, $a\ne -1$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup (-1;0)$.