ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём ограничения. Логарифм определён при $x-2a>0$, квадратный корень — при $x+3a⩾0$.

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\ln (x-2a)$ за скобки:

$$\ln (x-2a)\cdot \left(\sqrt{x+3a}-(x-1)\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Поэтому уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (x-2a)=0,\\ x+3a⩾0,\end{array}(1)\\ \{\begin{array}{l}\sqrt{x+3a}=x-1,\\ x-2a>0.\end{array}(2)\end{array}$$

В системе (1) условие $x-2a>0$ писать не нужно: из $\ln (x-2a)=0$ следует $x-2a=1>0$. В системе (2) не нужно писать $x+3a⩾0$: уравнение $\sqrt{x+3a}=x-1$ уже требует, чтобы корень существовал.

Корень системы (1). По определению логарифма

$$\ln (x-2a)=0\iff x-2a=1\iff x=2a+1.$$

Этот корень подходит, если он лежит на отрезке $[0;1]$ и удовлетворяет неравенству $x+3a⩾0$, то есть $2a+1+3a=5a+1⩾0$:

$$\{\begin{array}{l}0⩽2a+1⩽1,\\ 5a+1⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}⩽a⩽0,\\ a⩾-\frac{1}{5}\end{array}\iff -\frac{1}{5}⩽a⩽0.$$

Значит, $x_1=2a+1$ — корень уравнения на отрезке $[0;1]$ при $a\in \left[-\frac{1}{5};0\right]$ и только при этих $a$.

Корень системы (2). Арифметический корень неотрицателен, поэтому равенство $\sqrt{x+3a}=x-1$ возможно только при $x-1⩾0$, то есть при $x⩾1$. На отрезке $[0;1]$ таких чисел одно: $x=1$. Подставим его в уравнение:

$$\sqrt{1+3a}=0\iff 1+3a=0\iff a=-\frac{1}{3}.$$

Проверим второе условие системы: $x-2a=1+\frac{2}{3}>0$ — верно. Значит, $x_2=1$ — корень уравнения на отрезке при $a=-\frac{1}{3}$, а при остальных $a$ система (2) корней на отрезке $[0;1]$ не имеет.

Совпадение корней. Равенство $x_1=x_2$ означает $2a+1=1$, то есть $a=0$. Но корень $x_2$ существует только при $a=-\frac{1}{3}\ne 0$, поэтому одновременно два корня совпасть не могут.

Отметим на оси параметра, при каких $a$ существует каждый из корней, и посчитаем число корней на каждом участке:

При $a\in \left[-\frac{1}{5};0\right]$ есть корень $x_1$, а корня $x_2$ нет, так как $a\ne -\frac{1}{3}$. Ровно один корень.

При $a=-\frac{1}{3}$ есть корень $x_2=1$. Число $x_1=2a+1=\frac{1}{3}$ корнем не является: при нём $x+3a=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}<0$, выражение под корнем отрицательно. Снова ровно один корень.

При остальных $a$ корней на отрезке $[0;1]$ нет.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{3}\right\}\cup \left[-\frac{1}{5};0\right]$.