ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Запишем его в виде $x(|y|+1)=2$. Так как $|y|+1⩾1>0$, получаем

$$x=\frac{2}{|y|+1},0<x⩽2.$$

Выразим $y$ через $x$: $|y|=\frac{2}{x}-1$. Раскроем модуль.

При $y⩾0$: $y=\frac{2}{x}-1$, где $0<x⩽2$. Это дуга гиперболы, обозначим её ${\gamma }_1$.

При $y<0$: $y=1-\frac{2}{x}$, где $0<x<2$. Это дуга ${\gamma }_2$.

Дуги симметричны относительно оси $Ox$ и сходятся в точке $(2;0)$, которая принадлежит ${\gamma }_1$.

Первое уравнение. Запишем его в виде $x-2+a(y+1)=0$. Точка $P(2;-1)$ удовлетворяет ему при любом $a$. Значит, это пучок прямых, проходящих через $P$ (горизонтальная прямая $y=-1$ в пучок не входит).

Случай $a=0$. Первое уравнение даёт $x=2$. Из второго уравнения $|y|+1=1$, то есть $y=0$. Решение единственное: $(2;0)$. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Выразим $y$: $y=-1+k(x-2)$, где $k=-\frac{1}{a}\ne 0$ — угловой коэффициент прямой.

Общие точки с нижней дугой ${\gamma }_2$. Решим уравнение $1-\frac{2}{x}=-1+k(x-2)$ при $0<x<2$. Умножим на $x>0$:

$$x-2=-x+k{x}^2-2kx;k{x}^2-(2k+2)x+2=0.$$

Обозначим левую часть $\psi (x)$. Найдём её значения на концах интервала:

$$\psi (0)=2>0,\psi (2)=4k-4k-4+2=-2<0.$$

Функция $\psi$ непрерывна и меняет знак, поэтому на интервале $(0;2)$ у неё есть корень. Он единственный: если бы на интервале лежали оба корня квадратного трёхчлена, то вне промежутка между корнями, то есть в точках $0$ и $2$, трёхчлен имел бы один и тот же знак. Для найденного корня $y=1-\frac{2}{x}<0$, так как $x<2$, поэтому это действительно точка дуги ${\gamma }_2$. Итак, при любом $k\ne 0$ прямая имеет с ${\gamma }_2$ ровно одну общую точку.

Общие точки с верхней дугой ${\gamma }_1$. Решим уравнение $\frac{2}{x}-1=-1+k(x-2)$ при $0<x⩽2$:

$$\frac{2}{x}=k(x-2);k{x}^2-2kx=2;x^2-2x=\frac{2}{k}.$$

Число $x=2$ корнем не является: при нём левая часть равна $0$, а $\frac{2}{k}\ne 0$. Это значит, что точка $(2;0)$ на прямой не лежит. При $0<x<2$ выражение $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ принимает значения из промежутка $[-1;0)$. Значение $-1$ оно принимает один раз, при $x=1$. Каждое значение $c\in (-1;0)$ — два раза, в точках $x=1\pm \sqrt{1+c}$, обе лежат в $(0;2)$. Поэтому:

• если $\frac{2}{k}\in (-1;0)$, то есть $k<-2$, общих точек две;
• если $\frac{2}{k}=-1$, то есть $k=-2$, общая точка одна: прямая касается дуги в точке $(1;1)$;
• если $k>-2$, $k\ne 0$, общих точек нет.

Поясним первый пункт: $\frac{2}{k}<0$ означает $k<0$, а при $k<0$ неравенство $\frac{2}{k}>-1$ после умножения на $k$ даёт $2<-k$, то есть $k<-2$.

Точки на разных дугах различны: на ${\gamma }_1$ $y⩾0$, на ${\gamma }_2$ $y<0$. Итак, при $a\ne 0$ система имеет одно решение при $k>-2$, два при $k=-2$ и три при $k<-2$.

Решение единственно при $-\frac{1}{a}>-2$.

При $a<0$ имеем $-\frac{1}{a}>0>-2$ — условие выполнено.

При $a>0$ неравенство $-\frac{1}{a}>-2$ равносильно $\frac{1}{a}<2$, то есть $a>\frac{1}{2}$.

Объединим с $a=0$:

Ответ: $a\in (-\infty ;0]\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.