ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Разложим многочлены на множители. В левой части вынесем $x$:

$$x^4-x^3-3x^2-x=x\left(x^3-x^2-3x-1\right).$$

Число $-1$ — корень многочлена $x^3-x^2-3x-1$: $-1-1+3-1=0$. Поэтому он делится на $x+1$:

$$x^3-x^2-3x-1=(x+1)\left(x^2-2x-1\right).$$

Проверим раскрытием скобок: $(x+1)(x^2-2x-1)=x^3-2x^2-x+x^2-2x-1=x^3-x^2-3x-1$. В правой части

$$3x^3-3x^2-9x-3=3\left(x^3-x^2-3x-1\right)=3(x+1)\left(x^2-2x-1\right).$$

Подставим разложения в уравнение:

$$x(x+1)\left(x^2-2x-1\right)+ax(x+1)=3(x+1)\left(x^2-2x-1\right)+3a(x+1).$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $x+1$:

$$(x+1)(x\left(x^2-2x-1\right)+ax-3\left(x^2-2x-1\right)-3a)=0.$$

Во второй скобке сгруппируем слагаемые: $x(x^2-2x-1)-3(x^2-2x-1)=(x-3)(x^2-2x-1)$ и $ax-3a=a(x-3)$. Получаем

$$(x+1)((x-3)\left(x^2-2x-1\right)+a(x-3))=0;(x+1)(x-3)\left(x^2-2x-1+a\right)=0.$$

Корни $x=-1$ и $x=3$ есть при любом $a$. Остальные корни дают уравнение

$$x^2-2x-1+a=0\iff (x-1{)}^2=2-a.$$

Картину удобно увидеть на плоскости $(x;a)$: корни $-1$ и $3$ — вертикальные прямые, а уравнение $a=-x^2+2x+1$ задаёт параболу с вершиной $(1;2)$. Число корней при данном $a$ равно числу точек на горизонтальной прямой, проведённой на высоте $a$.

Разберём случаи.

При $a>2$ уравнение $(x-1{)}^2=2-a$ корней не имеет. Корней ровно два: $-1$ и $3$. Подходит.

При $a=2$ получаем ещё корень $x=1$, всего три корня. Не подходит.

При $a<2$ уравнение даёт два различных корня $x=1\pm \sqrt{2-a}$. Выясним, могут ли они совпасть с $-1$ или $3$. Корень $1+\sqrt{2-a}$ больше $1$, поэтому может совпасть только с $3$: $\sqrt{2-a}=2$, $a=-2$. Корень $1-\sqrt{2-a}$ меньше $1$ и может совпасть только с $-1$: снова $\sqrt{2-a}=2$, $a=-2$. Это пересечения параболы с прямыми $x=3$ и $x=-1$.

При $a=-2$ корни $1\pm 2$ — это $3$ и $-1$, и всего различных корней ровно два. Подходит.

При $a<2$, $a\ne -2$ все четыре корня различны. Не подходит.

Ответ: $a\in \{-2\}\cup (2;+\infty )$.