ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Второе уравнение. Выражение $\sqrt{-x}$ определено при $x⩽0$, и тогда

$${\left(\sqrt{-x}\right)}^4={\left({\left(\sqrt{-x}\right)}^2\right)}^2=(-x{)}^2=x^2.$$

Значит, второе уравнение равносильно системе $y=x^2-7$, $x⩽0$. Это левая ветвь параболы с вершиной $V(0;-7)$, вместе с вершиной. Обозначим её $P$.

Первое уравнение. При $a>0$ оно задаёт квадрат с вершинами $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$. Действительно, во второй четверти ($x⩽0$, $y⩾0$) уравнение принимает вид $-x+y=a$, то есть $y=x+a$ — это сторона $AB$. В третьей четверти ($x⩽0$, $y⩽0$) получаем $-x-y=a$, то есть $y=-x-a$ — сторона $AD$. Аналогично в правой полуплоскости получаются стороны $BC$ и $CD$.

Все точки ветви $P$ имеют $x⩽0$. Стороны $BC$ и $CD$ лежат в полуплоскости $x⩾0$, и общими с $P$ у них могут быть только точки на оси $Oy$, то есть вершины $B$ или $D$, которые принадлежат и левым сторонам. Поэтому достаточно найти общие точки ветви $P$ со сторонами $AB$ и $AD$.

Число решений системы равно числу общих точек квадрата и ветви $P$. С ростом $a$ квадрат растёт, оставаясь с центром в начале координат. Найдём граничные положения.

Положение I: вершина $A(-a;0)$ лежит на ветви $P$: $0=a^2-7$, и так как $a>0$, то $a=\sqrt{7}$.

Положение II: вершина $D(0;-a)$ совпадает с вершиной параболы $V(0;-7)$: $a=7$.

Положение III: сторона $AD$ касается ветви $P$. Уравнение $x^2-7=-x-a$, то есть $x^2+x+a-7=0$, должно иметь двойной корень, то есть его дискриминант $1-4(a-7)=29-4a$ должен быть равен нулю: $a=\frac{29}{4}$. Точка касания $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{4}-7=-\frac{27}{4}$; она лежит на стороне $AD$, так как $-\frac{29}{4}⩽-\frac{1}{2}⩽0$.

Изобразим ветвь $P$ (жирная линия) и квадрат в положениях I, II и III (пунктир). Положения II и III близки: при $a=7$ квадрат проходит через вершину параболы, при $a=\frac{29}{4}$ — касается ветви чуть левее неё.

Обоснуем подсчёт точек.

Сторона $AB$: $y=x+a$ при $-a⩽x⩽0$. Подставим $y=x^2-7$:

$$x^2-7=x+a;x^2-x-(7+a)=0;x=\frac{1\pm \sqrt{29+4a}}{2}.$$

Корень со знаком «плюс» положителен и не подходит. Корень $x=\frac{1-\sqrt{29+4a}}{2}$ отрицателен, так как $\sqrt{29+4a}>1$. Он подходит, если $x⩾-a$:

$$1-\sqrt{29+4a}⩾-2a\iff \sqrt{29+4a}⩽2a+1.$$

Обе части неотрицательны, поэтому возведём в квадрат: $29+4a⩽4a^2+4a+1$, то есть $a^2⩾7$, $a⩾\sqrt{7}$. Итак, сторона $AB$ даёт одну точку при $a⩾\sqrt{7}$ и ни одной при $0<a<\sqrt{7}$.

Сторона $AD$: $y=-x-a$ при $-a⩽x⩽0$. Подставим $y=x^2-7$:

$$x^2-7=-x-a;x^2+x+a-7=0.$$

Дискриминант этого уравнения равен $1-4(a-7)=29-4a$. При $a>\frac{29}{4}$ корней нет. При $a=\frac{29}{4}$ корень один, $x=-\frac{1}{2}$, и он подходит (положение III).

При $0<a<\frac{29}{4}$ корни

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{29-4a}}{2},x_2=\frac{-1+\sqrt{29-4a}}{2},x_1<x_2.$$

Корень $x_1$ отрицателен. Условие $x_1⩾-a$ равносильно неравенству $\sqrt{29-4a}⩽2a-1$. Оно возможно только при $2a-1⩾0$, и тогда после возведения в квадрат получаем $29-4a⩽4a^2-4a+1$, то есть $a^2⩾7$, $a⩾\sqrt{7}$. Значит, $x_1$ подходит при $\sqrt{7}⩽a<\frac{29}{4}$.

Корень $x_2$ удовлетворяет условию $x_2⩽0$, когда $\sqrt{29-4a}⩽1$, то есть $29-4a⩽1$, $a⩾7$. Условие $x_2⩾-a$ при этом выполнено: $x_2>-\frac{1}{2}>-a$. Значит, $x_2$ подходит при $7⩽a<\frac{29}{4}$. При $a=7$ это корень $x_2=0$, то есть точка $D=V(0;-7)$.

Совпадения. Стороны $AB$ и $AD$ имеют общую точку $A$. Она лежит на $P$ только при $a=\sqrt{7}$, и тогда найденные корни для обеих сторон дают одну и ту же точку $A(-\sqrt{7};0)$.

Сложим количества.

При $0<a<\sqrt{7}$ общих точек нет.

При $a=\sqrt{7}$ (положение I) — одна точка $A$.

При $\sqrt{7}<a<7$ — по одной точке на сторонах $AB$ и $AD$, всего две.

При $a=7$ (положение II) — одна точка на $AB$ и две на $AD$ (одна из них — вершина $V$), всего три.

При $7<a<\frac{29}{4}$ — одна точка на $AB$ и две на $AD$, всего три.

При $a=\frac{29}{4}$ (положение III) — одна точка на $AB$ и точка касания на $AD$, всего две.

При $a>\frac{29}{4}$ — только одна точка на $AB$.

Ответ: $a\in \left[7;\frac{29}{4}\right)$.