ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=5^x$, где $t>0$. Тогда $25^x=t^2$, и уравнение принимает вид

$$t^2-(a+6)t=(5+3|a|)t-(a+6)(3|a|+5).$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$$t^2-(a+6)t-(3|a|+5)t+(a+6)(3|a|+5)=0;$$

$$t(t-(a+6))-(3|a|+5)(t-(a+6))=0;$$

$$(t-(a+6))(t-(3|a|+5))=0.$$

Значит, исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}{5}^x=a+6,\\ 5^x=3|a|+5.\end{array}$$

Функция $5^x$ строго возрастает и принимает все положительные значения, причём каждое ровно один раз. Поэтому уравнение $5^x=c$ при $c>0$ имеет ровно одно решение $x={\log }_{5}c$, а при $c⩽0$ решений не имеет. Разным значениям $c$ соответствуют разные решения.

Уравнение $5^x=3|a|+5$ имеет одно решение при любом $a$, так как $3|a|+5⩾5>0$.

Уравнение $5^x=a+6$ имеет одно решение при $a>-6$ и не имеет решений при $a⩽-6$.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение в двух случаях.

Первое уравнение не имеет решений: $a⩽-6$. Тогда остаётся только решение второго уравнения.

Оба уравнения дают одно и то же решение: $a+6=3|a|+5$, то есть $3|a|=a+1$. Раскроем модуль.

При $a⩾0$: $3a=a+1$, $a=\frac{1}{2}$ — подходит, так как $\frac{1}{2}⩾0$.

При $a<0$: $-3a=a+1$, $a=-\frac{1}{4}$ — подходит, так как $-\frac{1}{4}<0$.

При остальных $a$, то есть при $a>-6$, $a\ne -\frac{1}{4}$, $a\ne \frac{1}{2}$, числа $a+6$ и $3|a|+5$ положительны и различны, и уравнение имеет два решения.

Ответ: $a\in (-\infty ;-6]\cup \left\{-\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right\}$.