ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$. Первое уравнение запишем в виде $y=2x+a$. Это семейство параллельных прямых ${\ell }_a$ с угловым коэффициентом $2$.

Второе уравнение запишем в виде $2|y|=x^2-2x$. Левая часть неотрицательна, поэтому решения возможны только при $x^2-2x⩾0$, то есть при $x⩽0$ или $x⩾2$. При этом условии

$$|y|=\frac{x^2-2x}{2}\iff [\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2-x,\\ y=-\frac{1}{2}{x}^2+x.\end{array}$$

Значит, второе уравнение задаёт множество $S$ — части двух парабол $p_1$: $y=\frac{1}{2}{x}^2-x$ и $p_2$: $y=-\frac{1}{2}{x}^2+x$, взятые при $x⩽0$ и при $x⩾2$. Параболы симметричны относительно оси $Ox$ и пересекаются в точках $O(0;0)$ и $E(2;0)$ — там, где $x^2-2x=0$. На взятых промежутках ветви $p_1$ лежат не ниже оси $Ox$, а ветви $p_2$ — не выше.

Число решений системы равно числу общих точек прямой ${\ell }_a$ и множества $S$. Изобразим $S$ и граничные положения прямой.

Граничные положения такие.

Положение (1): прямая касается правой ветви $p_1$. Уравнение $\frac{1}{2}{x}^2-x=2x+a$ приводится к виду $(x-3{)}^2=2a+9$ и имеет единственный корень при $a=-\frac{9}{2}$. Точка касания $(3;1,5)$, и $3⩾2$ — она лежит на взятой части параболы.

Положение (2): прямая проходит через точку $E(2;0)$: $0=4+a$, $a=-4$.

Положение (3): прямая проходит через точку $O(0;0)$: $a=0$.

Положение (4): прямая касается левой ветви $p_2$. Уравнение $-\frac{1}{2}{x}^2+x=2x+a$ приводится к виду $(x+1{)}^2=1-2a$ и имеет единственный корень при $a=\frac{1}{2}$. Точка касания $(-1;-1,5)$, и $-1⩽0$ — она лежит на взятой части параболы.

Обоснуем подсчёт точек между этими положениями.

Общие точки с $p_1$. Уравнение $\frac{1}{2}{x}^2-x=2x+a$ равносильно $x^2-6x-2a=0$, то есть $(x-3{)}^2=2a+9$. Нужны корни с $x⩽0$ или $x⩾2$.

При $a<-\frac{9}{2}$ корней нет. При $a=-\frac{9}{2}$ корень $x=3$ — одна точка. При $a>-\frac{9}{2}$ корни $x=3\pm \sqrt{2a+9}$. Корень $3+\sqrt{2a+9}>3$ подходит всегда. Корень $3-\sqrt{2a+9}$ меньше $3$ и подходит, если $3-\sqrt{2a+9}⩾2$, то есть $\sqrt{2a+9}⩽1$, $a⩽-4$, или если $3-\sqrt{2a+9}⩽0$, то есть $\sqrt{2a+9}⩾3$, $a⩾0$.

Итого с $p_1$: ни одной точки при $a<-\frac{9}{2}$; одна при $a=-\frac{9}{2}$; две при $-\frac{9}{2}<a⩽-4$; одна при $-4<a<0$; две при $a⩾0$.

Общие точки с $p_2$. Уравнение $-\frac{1}{2}{x}^2+x=2x+a$ равносильно $x^2+2x+2a=0$, то есть $(x+1{)}^2=1-2a$.

При $a>\frac{1}{2}$ корней нет. При $a=\frac{1}{2}$ корень $x=-1$ — одна точка. При $a<\frac{1}{2}$ корни $x=-1\pm \sqrt{1-2a}$. Корень $-1-\sqrt{1-2a}<0$ подходит всегда. Корень $-1+\sqrt{1-2a}$ больше $-1$ и подходит, если $-1+\sqrt{1-2a}⩽0$, то есть $\sqrt{1-2a}⩽1$, $a⩾0$, или если $-1+\sqrt{1-2a}⩾2$, то есть $1-2a⩾9$, $a⩽-4$.

Итого с $p_2$: две точки при $a⩽-4$; одна при $-4<a<0$; две при $0⩽a<\frac{1}{2}$; одна при $a=\frac{1}{2}$; ни одной при $a>\frac{1}{2}$.

Совпадения. Общие точки парабол — только $O$ и $E$. Прямая проходит через $E$ при $a=-4$ и через $O$ при $a=0$. В этих двух случаях одна точка посчитана дважды, и общее количество нужно уменьшить на единицу.

Сложим количества.

При $a<-\frac{9}{2}$: $0+2=2$ — подходит.

При $a=-\frac{9}{2}$: $1+2=3$.

При $-\frac{9}{2}<a<-4$: $2+2=4$.

При $a=-4$: $2+2-1=3$.

При $-4<a<0$: $1+1=2$ — подходит.

При $a=0$: $2+2-1=3$.

При $0<a<\frac{1}{2}$: $2+2=4$.

При $a=\frac{1}{2}$: $2+1=3$.

При $a>\frac{1}{2}$: $2+0=2$ — подходит.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right)\cup (-4;0)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.