ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Разбор — 4 балла

Первое неравенство. Приведём левую часть к основанию $2$: $4^{ax}=2^{2ax}$, поэтому $4^{ax}\cdot 2^{x^2}=2^{x^2+2ax}$. Обе части неравенства положительны. Прологарифмируем их по основанию $2$; функция ${\log }_{2}t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

$$x^2+2ax<{\log }_2{7}^{-(x+2a)};x^2+2ax<-(x+2a){\log }_{2}7.$$

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:

$$x(x+2a)+(x+2a){\log }_{2}7<0;(x+2a)(x+{\log }_{2}7)<0.$$

На отрезке $[-2;1]$ второй множитель положителен. Действительно, ${\log }_{2}7>{\log }_{2}4=2$, поэтому $x+{\log }_{2}7⩾-2+{\log }_{2}7>0$. Разделим на положительный множитель: на отрезке $[-2;1]$ первое неравенство равносильно неравенству $x+2a<0$, то есть

$$x<-2a.$$

Второе неравенство. Рассмотрим функцию $\phi (t)=2t^3+t^2+t$. Её производная ${\phi }^{\prime }(t)=6t^2+2t+1$. Дискриминант этого трёхчлена $4-24<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому ${\phi }^{\prime }(t)>0$ при всех $t$. Значит, $\phi$ строго возрастает. Второе неравенство имеет вид $\phi (x)<\phi (a)$, и для возрастающей функции оно равносильно неравенству

$$x<a.$$

Система. Нужно найти $a$, при которых найдётся число $x$, удовлетворяющее условиям

$$\{\begin{array}{l}x<-2a,\\ x<a,\\ -2⩽x⩽1.\end{array}$$

Первые два неравенства означают, что $x$ меньше меньшего из чисел $a$ и $-2a$. Обозначим это число $m$. Если $m>-2$, то подходит, например, $x=-2$. Если $m⩽-2$, то любое $x<m$ меньше $-2$ и не лежит на отрезке. Поэтому решение на отрезке есть тогда и только тогда, когда оба числа $a$ и $-2a$ больше $-2$:

$$\{\begin{array}{l}a>-2,\\ -2a>-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>-2,\\ a<1.\end{array}$$

То же самое видно на плоскости $(x;a)$. Решения системы — точки полосы $-2⩽x⩽1$, лежащие выше прямой $a=x$ и ниже прямой $a=-\frac{x}{2}$. Горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает эту область при $-2<a<1$. Граничные положения проходят через точки $(-2;-2)$ и $(-2;1)$ — это точки пересечения прямых $a=x$ и $a=-\frac{x}{2}$ с прямой $x=-2$.

Ответ: $a\in (-2;1)$.