ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Обозначим левую часть $f(x)=\sqrt[4]{a^4+x^4}$, правую $g(x)=\cos \frac{x}{2}+a^2-2a+1$. Обе функции определены при всех $x$, так как $a^4+x^4⩾0$. Обе они чётные: $f(-x)=f(x)$, потому что $(-x{)}^4=x^4$, и $g(-x)=g(x)$, потому что косинус — чётная функция.

Поэтому если $x_0$ — решение уравнения, то $-x_0$ — тоже решение. При $x_0\ne 0$ это два разных решения. Значит, если решение единственно, то оно равно $0$.

Необходимое условие. Потребуем, чтобы $x=0$ было решением. Учтём, что корень чётной степени из $a^4$ равен $|a|$:

$$\sqrt[4]{a^4}=\cos 0+a^2-2a+1;|a|=a^2-2a+2.$$

Раскроем модуль по определению.

При $a⩾0$ получаем $a=a^2-2a+2$, то есть $a^2-3a+2=0$, $(a-1)(a-2)=0$, откуда $a=1$ или $a=2$. Оба значения неотрицательны.

При $a<0$ получаем $-a=a^2-2a+2$, то есть $a^2-a+2=0$. Дискриминант $1-8<0$ — корней нет.

Итак, единственное решение возможно только при $a=1$ или $a=2$. Пока мы использовали лишь то, что $x=0$ — решение. Теперь нужно проверить, что при этих $a$ других решений нет.

Проверка $a=1$. Тогда $a^2-2a+1=(a-1{)}^2=0$, и уравнение принимает вид

$$\sqrt[4]{1+x^4}=\cos \frac{x}{2}.$$

Так как $x^4⩾0$, левая часть не меньше $\sqrt[4]{1}=1$. Правая часть не больше $1$. Равенство возможно, только если обе части равны $1$:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt[4]{1+x^4}=1,\\ \cos \frac{x}{2}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,\\ \cos 0=1.\end{array}$$

Решение единственное: $x=0$. Значение $a=1$ подходит.

Проверка $a=2$. Тогда $(a-1{)}^2=1$, и уравнение принимает вид

$$\sqrt[4]{16+x^4}=\cos \frac{x}{2}+1.$$

Левая часть не меньше $\sqrt[4]{16}=2$, правая не больше $1+1=2$. Равенство возможно, только если обе части равны $2$:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt[4]{16+x^4}=2,\\ \cos \frac{x}{2}+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,\\ \cos 0=1.\end{array}$$

Решение единственное: $x=0$. Значение $a=2$ подходит.

Ответ: $a\in \{1;2\}$.