ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём область допустимых значений: аргументы всех логарифмов должны быть положительны,

$$\{\begin{array}{l}6a-x>0,\\ 2a+2x-2>0,\\ x-a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\ln (6a-x)$:

$$\ln (6a-x)\cdot (\ln (2a+2x-2)-\ln (x-a))=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Поэтому уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (6a-x)=0,\\ 2a+2x-2>0,\\ x-a>0;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\ln (2a+2x-2)=\ln (x-a),\\ x-a>0,\\ 6a-x>0.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $6a-x>0$ не нужно: из $\ln (6a-x)=0$ следует $6a-x=1>0$. Во второй системе не нужно условие $2a+2x-2>0$: аргументы равных логарифмов равны, поэтому $2a+2x-2=x-a>0$. Кроме того, корень должен лежать на отрезке $[0;1]$.

Первая система. $\ln (6a-x)=0$ означает $6a-x=1$, то есть $x_1=6a-1$. Подставим в неравенства и добавим условие на отрезок:

$$\{\begin{array}{l}2a+2(6a-1)-2>0,\\ 6a-1-a>0,\\ 0⩽6a-1⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}14a>4,\\ 5a>1,\\ 1⩽6a⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>\frac{2}{7},\\ a>\frac{1}{5},\\ \frac{1}{6}⩽a⩽\frac{1}{3}.\end{array}$$

Сравним границы: $\frac{1}{6}<\frac{1}{5}<\frac{2}{7}<\frac{1}{3}$ (например, $\frac{2}{7}<\frac{1}{3}$, так как $6<7$). Пересечение условий:

Значит, $x_1=6a-1$ — корень из отрезка $[0;1]$ при $a\in \left(\frac{2}{7};\frac{1}{3}\right]$.

Вторая система. Логарифм возрастает, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: $2a+2x-2=x-a$, откуда $x_2=2-3a$. Подставим в неравенства и добавим условие на отрезок:

$$\{\begin{array}{l}2-3a-a>0,\\ 6a-(2-3a)>0,\\ 0⩽2-3a⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4a<2,\\ 9a>2,\\ 1⩽3a⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a<\frac{1}{2},\\ a>\frac{2}{9},\\ \frac{1}{3}⩽a⩽\frac{2}{3}.\end{array}$$

Так как $\frac{2}{9}<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}$, пересечение условий:

Значит, $x_2=2-3a$ — корень из отрезка $[0;1]$ при $a\in \left[\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right)$.

Совпадение корней. $x_1=x_2$ при $6a-1=2-3a$, то есть $9a=3$, $a=\frac{1}{3}$. При этом значении оба кандидата равны $1$ — это один корень.

Изобразим найденные корни на плоскости $(x;a)$: корень $x_1$ — отрезок прямой $x=6a-1$, корень $x_2$ — отрезок прямой $x=2-3a$. Число корней при данном $a$ равно числу точек на горизонтальной прямой, проведённой на высоте $a$.

Пройдём по оси $a$ снизу вверх.

При $a⩽\frac{2}{7}$ ни один из кандидатов не является корнем — корней нет.

При $\frac{2}{7}<a<\frac{1}{3}$ корень только $x_1$ — ровно один.

При $a=\frac{1}{3}$ корни совпадают: $x=1$ — ровно один.

При $\frac{1}{3}<a<\frac{1}{2}$ корень только $x_2$ — ровно один.

При $a⩾\frac{1}{2}$ корней нет.

Ответ: $a\in \left(\frac{2}{7};\frac{1}{2}\right)$.