ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем скобки во втором слагаемом и соберём слагаемые с множителем $a$:

$$a|x+2|+|x-2|-a|x-2|+3=0\iff a(|x+2|-|x-2|)=-|x-2|-3.$$

Обозначим $f(x)=a(|x+2|-|x-2|)$ и $g(x)=-|x-2|-3$. Решения уравнения — абсциссы общих точек графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$; нужно, чтобы таких точек было ровно две.

График $g$ — уголок с вершиной $A(2;-3)$, ветви которого направлены вниз. При $x⩽2$ имеем $g(x)=-(2-x)-3=x-5$ — левая ветвь, при $x⩾2$ имеем $g(x)=-(x-2)-3=-x-1$ — правая ветвь. От $a$ уголок не зависит.

Чтобы построить график $f$, раскроем модули. При $x<-2$ оба модуля раскрываются с минусом, при $-2⩽x⩽2$ первый — с плюсом, второй — с минусом, при $x>2$ оба — с плюсом:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}a(-(x+2)+(x-2))=-4a,& x<-2,\\ a((x+2)+(x-2))=2ax,& -2⩽x⩽2,\\ a((x+2)-(x-2))=4a,& x>2.\end{array}$$

График $f$ — ломаная: горизонтальный луч $y=-4a$ при $x<-2$, отрезок $CD$ прямой $y=2ax$ с концами $C(-2;-4a)$ и $D(2;4a)$ и горизонтальный луч $y=4a$ при $x>2$. Средний отрезок всегда проходит через начало координат. Правый излом $D$ лежит на одной вертикали с вершиной $A$ уголка.

При изменении $a$ средний отрезок ломаной поворачивается вокруг начала координат, а крайние звенья сдвигаются по вертикали. Число общих точек с уголком меняется в двух граничных положениях:

• положение I: левый излом $C(-2;-4a)$ лежит на левой ветви уголка $y=x-5$, то есть $-4a=-2-5$, $a=\frac{7}{4}$;
• положение II: правый излом $D(2;4a)$ совпадает с вершиной $A(2;-3)$, то есть $4a=-3$, $a=-\frac{3}{4}$.

Изобразим уголок (жирная линия) и ломаную в положениях I и II (пунктир).

Посчитаем общие точки по звеньям ломаной. Звенья лежат в разных полосах ($x<-2$, $-2⩽x⩽2$, $x>2$), поэтому точки на разных звеньях различны.

Левый луч ($x<-2$) может пересечь только левую ветвь уголка: $x-5=-4a$, откуда $x=5-4a$. Эта точка лежит на луче, если $5-4a<-2$, то есть $a>\frac{7}{4}$. Значит, левый луч даёт одну точку при $a>\frac{7}{4}$ и ни одной при остальных $a$.

Средний отрезок ($-2⩽x⩽2$) тоже может пересечь только левую ветвь. Рассмотрим разность $d(x)=2ax-(x-5)=(2a-1)x+5$. Это линейная функция, и она не равна тождественно нулю (свободный член равен $5$). Её значения на концах:

$$d(-2)=-4a+2+5=7-4a,d(2)=4a-2+5=4a+3.$$

Линейная функция обращается в нуль на отрезке $[-2;2]$, причём ровно один раз, тогда и только тогда, когда её значения на концах имеют разные знаки или одно из них равно нулю: $(7-4a)(4a+3)⩽0$, то есть $a⩽-\frac{3}{4}$ или $a⩾\frac{7}{4}$. При $-\frac{3}{4}<a<\frac{7}{4}$ общих точек у отрезка и уголка нет.

Правый луч ($x>2$) может пересечь только правую ветвь: $-x-1=4a$, откуда $x=-4a-1$. Эта точка лежит на луче, если $-4a-1>2$, то есть $a<-\frac{3}{4}$.

Сложим количества.

При $a>\frac{7}{4}$ левый луч даёт одну точку, средний отрезок — одну, правый луч — ни одной. Всего две точки — подходит.

При $a=\frac{7}{4}$ (положение I) левый луч точек не даёт ($x=-2$ не входит в луч), средний отрезок даёт одну точку $C(-2;-7)$, правый луч — ни одной. Решение одно.

При $-\frac{3}{4}<a<\frac{7}{4}$ общих точек нет.

При $a=-\frac{3}{4}$ (положение II) средний отрезок даёт точку $D=A(2;-3)$, правый луч — нет ($x=2$ в него не входит), левый луч — нет. Решение одно.

При $a<-\frac{3}{4}$ левый луч точек не даёт, средний отрезок даёт одну точку, правый луч — одну. Всего две точки — подходит.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{7}{4};+\infty \right)$.