ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём область допустимых значений: подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен,

$$\{\begin{array}{l}x+3a⩾0,\\ x-2a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\ln (x-2a)$:

$$\ln (x-2a)\cdot \left(\sqrt{x+3a}-(x-1)\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой имеет смысл. Учитывая ОДЗ и то, что корень должен лежать на отрезке $[0;1]$, получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (x-2a)=0,\\ x+3a⩾0,\\ 0⩽x⩽1;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\sqrt{x+3a}=x-1,\\ x-2a>0,\\ 0⩽x⩽1.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $x-2a>0$ не нужно: из $\ln (x-2a)=0$ следует $x-2a=1>0$. Во второй системе не нужно условие $x+3a⩾0$: оно входит в уравнение с корнем.

Первая система. $\ln (x-2a)=0$ означает $x-2a=1$, то есть $x_1=1+2a$. Подставим в остальные условия:

$$\{\begin{array}{l}1+2a+3a⩾0,\\ 0⩽1+2a⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a⩾-\frac{1}{5},\\ -\frac{1}{2}⩽a⩽0\end{array}\iff -\frac{1}{5}⩽a⩽0.$$

Значит, $x_1=1+2a$ — корень из отрезка $[0;1]$ при $a\in \left[-\frac{1}{5};0\right]$.

Вторая система. Уравнение $\sqrt{x+3a}=x-1$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}x+3a=(x-1{)}^2,\\ x-1⩾0,\end{array}$$

так как квадратный корень неотрицателен, и при $x-1⩾0$ обе части можно возвести в квадрат. Условие $x⩾1$ вместе с $x⩽1$ оставляет единственную возможность $x=1$. Подставим $x=1$ в уравнение: $1+3a=0$, то есть $a=-\frac{1}{3}$. Проверим условие $x-2a>0$: $1+\frac{2}{3}>0$ — верно.

Итак, вторая система даёт корень $x_2=1$ только при $a=-\frac{1}{3}$, а при остальных $a$ корней не даёт.

Совпадение корней. При $a=-\frac{1}{3}$ первая система корней не даёт, так как $-\frac{1}{3}<-\frac{1}{5}$. При $a\in \left[-\frac{1}{5};0\right]$ не даёт корней вторая система. Поэтому корни разных систем никогда не встречаются одновременно, и в каждом из найденных случаев корень ровно один.

При всех остальных $a$ корней на отрезке нет.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{3}\right\}\cup \left[-\frac{1}{5};0\right]$.