ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Перенесём слагаемые так, чтобы в левой части остались степени $\cos x$, а в правой — выражения с $a-2\cos x$:

$${\cos }^{18}x+{\cos }^{2}x=(a-2\cos x{)}^9+(a-2\cos x).$$

Заметим, что ${\cos }^{18}x={\left({\cos }^{2}x\right)}^9$. Введём функцию $f(t)=t^9+t$ и обозначим $u={\cos }^{2}x$, $v=a-2\cos x$. Тогда уравнение принимает вид

$$f(u)=f(v).$$

Исследуем $f$ на монотонность: $f^{\prime }(t)=9t^8+1>0$ при всех $t$. Значит, функция $f$ строго возрастает на всей числовой прямой, и каждое своё значение принимает ровно один раз. Поэтому равенство $f(u)=f(v)$ равносильно равенству $u=v$:

$${\cos }^{2}x=a-2\cos x\iff a={\cos }^{2}x+2\cos x.$$

Сделаем замену $z=\cos x$, где $z\in [-1;1]$. Для каждого $z$ из этого отрезка найдётся $x$ с $\cos x=z$, поэтому исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение

$$a=z^2+2z$$

имеет хотя бы один корень на отрезке $[-1;1]$. Выделим полный квадрат: $z^2+2z=(z+1{)}^2-1$. Обозначим $h(z)=(z+1{)}^2-1$. Её график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(-1;-1)$. На отрезке $[-1;1]$, который лежит правее вершины, функция $h$ непрерывна и возрастает, поэтому принимает все значения от $h(-1)=-1$ до $h(1)=4-1=3$, и только их.

Значит, уравнение имеет решения при $a\in [-1;3]$ и не имеет решений при остальных $a$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.