ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём область допустимых значений: аргументы логарифмов должны быть положительны,

$$\{\begin{array}{l}x+a>0,\\ 2x-a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$(5x-2)(\ln (x+a)-\ln (2x-a))=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а выражение при этом имеет смысл. Поэтому уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}5x-2=0,\\ x+a>0,\\ 2x-a>0;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\ln (x+a)=\ln (2x-a),\\ x+a>0.\end{array}\end{array}$$

Во второй системе условие $2x-a>0$ не пишем: аргументы равных логарифмов равны, поэтому $2x-a=x+a>0$.

Первый кандидат. $x_1=\frac{2}{5}$ — это число лежит на отрезке $[0;1]$. Подставим его в условия ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}\frac{2}{5}+a>0,\\ \frac{4}{5}-a>0\end{array}\iff -\frac{2}{5}<a<\frac{4}{5}.$$

Второй кандидат. Логарифм возрастает, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: $x+a=2x-a$, откуда $x_2=2a$. Условие ОДЗ: $x_2+a=3a>0$, то есть $a>0$. Условие на отрезок: $0⩽2a⩽1$, то есть $0⩽a⩽\frac{1}{2}$. Вместе получаем $0<a⩽\frac{1}{2}$.

Совпадение корней. $x_1=x_2$ при $2a=\frac{2}{5}$, то есть при $a=\frac{1}{5}$. Это значение лежит в обоих найденных промежутках, и при нём корень один: $x=\frac{2}{5}$.

Картину удобно увидеть на плоскости $(x;a)$: корень $x_1$ — вертикальный отрезок $x=\frac{2}{5}$ при $-\frac{2}{5}<a<\frac{4}{5}$, корень $x_2$ — отрезок прямой $x=2a$ при $0<a⩽\frac{1}{2}$. Число корней при данном $a$ равно числу точек этих отрезков на горизонтальной прямой, проведённой на высоте $a$.

Пройдём по оси $a$ слева направо.

При $a⩽-\frac{2}{5}$ ни одно из чисел не является корнем — корней нет.

При $-\frac{2}{5}<a⩽0$ корень только $x_1$ — ровно один, подходит.

При $0<a<\frac{1}{5}$ и при $\frac{1}{5}<a⩽\frac{1}{2}$ корнями являются оба числа, и они различны — два корня, не подходит.

При $a=\frac{1}{5}$ корни совпадают — ровно один, подходит.

При $\frac{1}{2}<a<\frac{4}{5}$ число $x_2=2a>1$ не лежит на отрезке, корень только $x_1$ — ровно один, подходит.

При $a⩾\frac{4}{5}$ корней нет.

Ответ: $a\in \left(-\frac{2}{5};0\right]\cup \left\{\frac{1}{5}\right\}\cup \left(\frac{1}{2};\frac{4}{5}\right)$.