ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Логарифмы с одним и тем же основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы и эти аргументы положительны. Поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}16-y^2=16-a^2{x}^2,\\ 16-y^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{y}^2=a^2{x}^2,\\ |y|<4.\end{array}$$

Условие $16-a^2{x}^2>0$ отдельно писать не нужно: аргументы равны, и положительность одного из них даёт положительность другого. Равенство $y^2=a^2{x}^2$ означает, что $y=ax$ или $y=-ax$.

Второе уравнение перепишем, выделив полные квадраты:

$$x^2-8x+y^2-4y=0;(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=20.$$

Это окружность $\omega$ с центром $C(4;2)$ и радиусом $2\sqrt{5}$. Она проходит через начало координат $O(0;0)$, так как $16+4=20$.

Итак, решения системы — это точки окружности $\omega$, которые лежат на одной из прямых $y=ax$, $y=-ax$ и попадают в полосу $-4<y<4$.

Пересечение прямой $y=kx$ с окружностью. Подставим $y=kx$ во второе уравнение:

$$x^2+k^2{x}^2=8x+4kx;x((1+k^2)x-(8+4k))=0.$$

Получаем $x=0$, то есть точку $O$, и вторую точку $M_k$:

$$x=\frac{8+4k}{1+k^2},y=\frac{k(8+4k)}{1+k^2}.$$

Точка $M_k$ совпадает с $O$, когда $8+4k=0$, то есть при $k=-2$. Это понятно и геометрически: угловой коэффициент радиуса $CO$ равен $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, а прямая $y=-2x$ перпендикулярна ему и потому касается окружности в точке $O$.

Точка $O$ лежит в полосе ($y=0$), поэтому она является решением системы при любом $a$.

Выясним, когда точка $M_k$ лежит в полосе. Знаменатель $1+k^2$ положителен, поэтому на него можно умножить:

$$y<4\iff 8k+4k^2<4+4k^2\iff k<\frac{1}{2};$$

$$y>-4\iff 8k+4k^2>-4-4k^2\iff 2k^2+2k+1>0.$$

Последнее неравенство верно при всех $k$: дискриминант $4-8<0$, а старший коэффициент положителен. Итак, $M_k$ лежит в полосе ровно при $k<\frac{1}{2}$.

Подсчёт решений. При $a=0$ обе прямые совпадают с осью $y=0$. Решения — точки $O(0;0)$ и $M_0(8;0)$, их ровно две. Значение $a=0$ подходит.

При $a\ne 0$ прямые $y=ax$ и $y=-ax$ различны — это прямые $y=|a|x$ и $y=-|a|x$. Их единственная общая точка — $O$, поэтому вторые точки пересечения $M_{|a|}$ и $M_{-|a|}$, если они отличны от $O$, различны.

Прямая $y=|a|x$, здесь $k=|a|>0$. Точка $M_{|a|}$ отлична от $O$, так как $k\ne -2$, и лежит в полосе при $|a|<\frac{1}{2}$.

Прямая $y=-|a|x$, здесь $k=-|a|<0<\frac{1}{2}$. Точка $M_{-|a|}$ всегда лежит в полосе, но совпадает с $O$ при $|a|=2$.

При $0<|a|<\frac{1}{2}$ решения — $O$, $M_{|a|}$ и $M_{-|a|}$, их три. Не подходит.

При $|a|=2$ точка $M_{|a|}$ вне полосы, а $M_{-|a|}$ совпадает с $O$ — решение одно. Не подходит.

При $|a|⩾\frac{1}{2}$, $|a|\ne 2$ решения — $O$ и $M_{-|a|}$, их ровно два. Подходит.

Объединим подходящие значения вместе с $a=0$:

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup \left(-2;-\frac{1}{2}\right]\cup \{0\}\cup \left[\frac{1}{2};2\right)\cup (2;+\infty )$.