Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система x²-8x+y²+4y+15=4|2x-y-10| x+2y=a… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Системы уравнений с параметром сложная 2015 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

${x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + 15 = 4∣2 x - y - 10∣ x + 2 y = a$

имеет более двух решений.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $x O y$ . Раскроем модуль в первом уравнении. Знак выражения $2 x - y - 10$ определяет прямая $m$ : $y = 2 x - 10$ . На ней и ниже неё $2 x - y - 10 ⩾ 0$ , выше неё $2 x - y - 10 < 0$ .

Случай 1: $y ⩽ 2 x - 10$ . Тогда $∣2 x - y - 10∣ = 2 x - y - 10$ , и

$x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + 15 = 8 x - 4 y - 40; x^{2} - 16 x + y^{2} + 8 y + 55 = 0.$

Выделим полные квадраты: $x^{2} - 16 x = (x - 8)^{2} - 64$ , $y^{2} + 8 y = (y + 4)^{2} - 16$ . Получаем

$(x - 8)^{2} + (y + 4)^{2} = 25.$

Это окружность $ω_{1}$ с центром $O_{1} (8; - 4)$ и радиусом $5$ . Из неё берём точки, лежащие на прямой $m$ или ниже неё.

Случай 2: $y > 2 x - 10$ . Тогда $∣2 x - y - 10∣ = - 2 x + y + 10$ , и

$x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + 15 = - 8 x + 4 y + 40; x^{2} + y^{2} = 25.$

Это окружность $ω_{2}$ с центром $O (0; 0)$ и радиусом $5$ . Из неё берём точки, лежащие строго выше прямой $m$ .

Найдём общие точки прямой $m$ и окружности $ω_{2}$ . Подставим $y = 2 x - 10$ :

$x^{2} + (2 x - 10)^{2} = 25; 5 x^{2} - 40 x + 75 = 0; x^{2} - 8 x + 15 = 0; x = 3 или x = 5.$

Получаем точки $B (3; - 4)$ и $A (5; 0)$ . Они лежат и на окружности $ω_{1}$ : $(3 - 8)^{2} + 0^{2} = 25$ , $(5 - 8)^{2} + 4^{2} = 25$ . Значит, окружности пересекаются в точках $A$ и $B$ на прямой $m$ .

Центры $O$ и $O_{1}$ симметричны относительно прямой $m$ . Действительно, середина отрезка $O O_{1}$ — точка $(4; - 2)$ — лежит на $m$ , так как $- 2 = 2 \cdot 4 - 10$ . Угловой коэффициент прямой $O O_{1}$ равен $- \frac{1}{2}$ , а $- \frac{1}{2} \cdot 2 = - 1$ , поэтому $O O_{1} ⊥ m$ . Радиусы окружностей равны, значит, окружности симметричны относительно $m$ .

Центр $O$ лежит выше прямой $m$ ( $0 > - 10$ ), поэтому от $ω_{2}$ остаётся большая дуга $A B$ (без концов). Центр $O_{1}$ лежит ниже $m$ , и от $ω_{1}$ тоже остаётся большая дуга $A B$ , вместе с концами $A$ и $B$ . Эти дуги симметричны друг другу относительно $m$ . Обозначим их объединение через $S$ .

Второе уравнение системы запишем в виде $y = \frac{a - x}{2}$ . Это семейство параллельных прямых $ℓ_{a}$ с угловым коэффициентом $- \frac{1}{2}$ . Так как $- \frac{1}{2} \cdot 2 = - 1$ , каждая прямая $ℓ_{a}$ перпендикулярна оси симметрии $m$ . Число решений системы равно числу общих точек прямой $ℓ_{a}$ с множеством $S$ .

Изобразим множество $S$ (жирные дуги), отброшенные части окружностей и прямую $m$ (тонкие линии), а также граничные положения прямой $ℓ_{a}$ (пунктир).

Графическая иллюстрация

Найдём граничные положения прямой.

Касание. Расстояние от точки $O (0; 0)$ до прямой $x + 2 y - a = 0$ равно $\frac{∣ a ∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ a ∣}{5}$ , а от точки $O_{1} (8; - 4)$ — $\frac{∣8 - 8 - a ∣}{5} = \frac{∣ a ∣}{5}$ , то есть столько же. Поэтому прямая касается обеих окружностей одновременно, когда $\frac{∣ a ∣}{5} = 5$ , то есть при $a = \pm 55$ . При $a = 55$ прямая касается окружностей сверху справа, при $a = - 55$ — снизу слева.

Прохождение через точки $A$ и $B$ . Подставим координаты в уравнение $x + 2 y = a$ : точка $A (5; 0)$ лежит на прямой при $a = 5$ , точка $B (3; - 4)$ — при $a = 3 - 8 = - 5$ .

Обоснуем подсчёт точек. Подставим $x = a - 2 y$ в уравнения окружностей.

Окружность $ω_{2}$ : $(a - 2 y)^{2} + y^{2} = 25$ , то есть $5 y^{2} - 4 a y + a^{2} - 25 = 0$ . Четверть дискриминанта равна $4 a^{2} - 5 (a^{2} - 25) = 125 - a^{2}$ , корни

$y = \frac{2 a \pm 125 - a ^{2}}{5} .$

Точку нужно брать, если она лежит выше прямой $m$ : $y > 2 x - 10 = 2 a - 4 y - 10$ , то есть $5 y > 2 a - 10$ . Для корня со знаком «плюс» это верно всегда: $2 a + 125 - a^{2} > 2 a - 10$ . Для корня со знаком «минус» условие принимает вид $125 - a^{2} < 10$ , то есть $125 - a^{2} < 100$ , $∣ a ∣ > 5$ .

Окружность $ω_{1}$ : обозначим $u = y + 4$ . Тогда $x - 8 = a - 2 y - 8 = a - 2 u$ , и уравнение принимает вид $(a - 2 u)^{2} + u^{2} = 25$ — то же уравнение, что и выше. Поэтому

$u = \frac{2 a \pm 125 - a ^{2}}{5} .$

Точку нужно брать, если она лежит на прямой $m$ или ниже: $5 y ⩽ 2 a - 10$ , то есть $5 u ⩽ 2 a + 10$ . Для корня со знаком «минус» это верно всегда. Для корня со знаком «плюс» условие принимает вид $125 - a^{2} ⩽ 10$ , то есть $∣ a ∣ ⩾ 5$ .

Каждому найденному $y$ отвечает одна точка $(a - 2 y; y)$ . Точки, взятые от $ω_{2}$ , лежат строго выше $m$ , а взятые от $ω_{1}$ — не выше $m$ , поэтому общих точек у этих двух групп нет. Посчитаем решения.

При $∣ a ∣ > 55$ корней нет — решений нет.

При $∣ a ∣ = 55$ у каждого уравнения один корень, и он подходит: прямая касается каждой дуги — два решения.

При $5 < ∣ a ∣ < 55$ у каждого уравнения два корня, и все они подходят — четыре решения.

При $∣ a ∣ = 5$ от $ω_{2}$ подходит один корень, а от $ω_{1}$ — оба (один из них — точка $A$ или $B$ на прямой $m$ ) — три решения.

При $∣ a ∣ < 5$ от каждой окружности подходит по одному корню — два решения.

Решений больше двух при $5 ⩽ ∣ a ∣ < 55$ .

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- 55; - 5] \cup [5; 55)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19