Найдите все отрицательные значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Обозначим и . Решения уравнения — абсциссы общих точек графиков и , и нужно, чтобы таких точек было ровно две.
График — прямая с угловым коэффициентом . При любом она проходит через точку , то есть это пучок прямых с центром в этой точке. Так как , прямая убывает.
Исследуем функцию . Подмодульные выражения обращаются в нуль при
Так как , имеем , поэтому порядок этих точек на оси известен:
Раскроем модули на каждом из трёх промежутков.
При оба выражения неотрицательны: .
При первое выражение неотрицательно, а второе отрицательно: .
При оба выражения отрицательны: .
Найдём значения в точках излома. Соседние звенья в них сходятся, так как непрерывна:
Угловые коэффициенты звеньев слева направо равны , , . На левом луче функция убывает, на остальных возрастает, поэтому график — «корыто» с нижней точкой .
Будем поворачивать прямую вокруг точки . Число общих точек с корытом меняется в двух граничных положениях:
- положение I: прямая проходит через нижнюю точку корыта;
- положение II: прямая параллельна левой ветви корыта , то есть .
Обоснуем подсчёт точек. Рассмотрим разность . На каждом из трёх промежутков она линейна, а её угловые коэффициенты равны
Так как , второй и третий коэффициенты положительны. Значит, при функция строго возрастает и неограниченно растёт при . Поведение на левом луче определяется знаком числа , то есть тем, круче ли прямая , чем левая ветвь корыта.
**Случай .** Тогда , и все три коэффициента положительны. Функция строго возрастает на всей прямой и принимает значения от до , поэтому обращается в нуль ровно один раз. Прямая падает круче левой ветви и пересекает корыто в одной точке. Решение одно — не подходит.
Случай (положение II). Прямая параллельна левой ветви и не совпадает с ней. На луче разность постоянна: , нулей там нет. При функция возрастает от до и обращается в нуль ровно один раз. Решение одно — не подходит.
Случай . Тогда : на луче функция строго убывает и неограниченно растёт при . Итак, убывает до точки и возрастает после неё. Её наименьшее значение — , и на каждом из двух участков монотонности обращается в нуль не более одного раза. Поэтому решений ровно два тогда и только тогда, когда . При решение одно (это положение I), при решений нет.
Условие означает, что прямая проходит выше нижней точки корыта:
Найдём корни трёхчлена: , . Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполнено вне отрезка между корнями:
Сравним корни с границами случая. Так как , получаем
Значит, , а , и оба корня лежат внутри интервала . Пересекаем решение неравенства с условием :
Итак, при решение одно, а при решений ровно два, если прямая проходит выше точки .
Ответ: .