Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Найдём область допустимых значений. Квадратный корень определён, когда подкоренное выражение неотрицательно, а логарифм — когда его аргумент положителен:
Из первого условия . Вместе с требованием получаем, что все интересующие нас корни лежат на отрезке .
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель :
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. С учётом ОДЗ и отрезка уравнение равносильно совокупности
Во второй системе условие можно не писать: если логарифмы равны, то равны и их аргументы, поэтому .
Первый кандидат. Из получаем . Это число лежит на отрезке . Оно является корнем, если аргументы логарифмов при положительны:
Значит, — корень при .
Второй кандидат. Логарифм — возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (при положительных аргументах):
Подставим в условия второй системы. Условие даёт , то есть , . Условие на отрезок:
Все такие отрицательны, поэтому первое условие выполнено автоматически. Итак, — корень, лежащий на отрезке , при .
Совпадение корней. Числа и равны, если , то есть . При этом значении оба кандидата дают одно и то же число — это один корень, а не два.
Подсчёт корней. Промежуток , на котором существует , лежит внутри промежутка , на котором существует . Пройдём по оси слева направо.
При число не корень, и тоже не корень — корней на отрезке нет.
При корень только — ровно один, подходит.
При корнями являются оба числа, и они различны — корней два, не подходит.
При корни совпадают — корень ровно один, подходит.
При корень только — ровно один, подходит.
При корней нет.
Ответ: .