ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Симметрия. В оба уравнения переменная $x$ входит только через $|x|$ и $x^2$, а они не меняются при замене $x$ на $-x$. Значит, если пара $(x_0;y_0)$ — решение системы, то и $(-x_0;y_0)$ — решение. При $x_0\ne 0$ это два разных решения.

Поэтому если решение единственно, то у него $x_0=0$: иначе нашлось бы второе решение $(-x_0;y_0)$.

Необходимое условие. Подставим $x=0$ в систему:

$$\{\begin{array}{l}6\cdot 2^0+0+1=6y+0+a,\\ y^2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=7-6y,\\ y=\pm 1.\end{array}$$

При $y=1$ получаем $a=1$, при $y=-1$ получаем $a=13$. Если $a\ne 1$ и $a\ne 13$, то решений с $x=0$ нет, все решения разбиваются на пары $(x_0;y_0)$, $(-x_0;y_0)$, и единственного решения быть не может. Осталось проверить два значения.

Проверка $a=13$. Подставим точку $(1;0)$ окружности в первое уравнение: слева $6\cdot 2+7+1=20$, справа $0+7+13=20$ — равенство верно. Значит, $(1;0)$ — решение, а вместе с ним и $(-1;0)$; кроме того, решением является $(0;-1)$. Решений не меньше трёх — значение $a=13$ не подходит.

Проверка $a=1$. Первое уравнение принимает вид $6\cdot 2^{|x|}+7|x|+1=6y+7x^2+1$, откуда

$$6y=6\cdot 2^{|x|}+7\left(|x|-x^2\right).$$

Для точек окружности $x^2+y^2=1$ выполнено $|x|⩽1$ и $y⩽1$. Оценим правую часть. Так как $|x|⩾0$, имеем $2^{|x|}⩾1$, причём равенство только при $x=0$. Так как $0⩽|x|⩽1$, имеем $|x|-x^2=|x|(1-|x|)⩾0$. Поэтому

$$6y⩾6,y⩾1.$$

Вместе с $y⩽1$ получаем $y=1$, а тогда все неравенства обращаются в равенства, и $2^{|x|}=1$, то есть $x=0$. Точка $(0;1)$ действительно удовлетворяет обоим уравнениям: $6+0+1=6+0+1$ и $0+1=1$. Значит, при $a=1$ решение единственно.

Ответ: $a=1$.