ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ равносильно системе $f=g$, $f⩾0$: если подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно, то неотрицательно и второе. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,\\ x^2-a^2⩾0.\end{array}$$

Разложим правую часть уравнения на множители, сгруппировав слагаемые так, чтобы выделить множитель $x-a$:

$$4x^2-(4a+2)x+2a=4x^2-4ax-2x+2a=4x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(4x-2).$$

Левую часть разложим по формуле разности квадратов: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$. Получаем

$$(x-a)(x+a)-(x-a)(4x-2)=0;(x-a)(x+a-4x+2)=0;(x-a)(a+2-3x)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}x=a,\\ x=\frac{a+2}{3}.\end{array}$$

Каждое из этих чисел — корень исходного уравнения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет неравенству $(x-a)(x+a)⩾0$. Разберём оба числа: когда число является корнем и лежит на отрезке $[0;1]$.

Число $x_1=a$. Подставим в неравенство: $(a-a)(a+a)=0⩾0$ — верно при любом $a$. Значит, $x_1=a$ — корень при любом $a$, а на отрезке $[0;1]$ он лежит при $0⩽a⩽1$.

Число $x_2=\frac{a+2}{3}$. Подставим в неравенство:

$$\left(\frac{a+2}{3}-a\right)\left(\frac{a+2}{3}+a\right)⩾0;\frac{2-2a}{3}\cdot \frac{4a+2}{3}⩾0;(1-a)(2a+1)⩾0.$$

Множители обращаются в нуль при $a=1$ и $a=-\frac{1}{2}$. При больших $a$ первый множитель отрицателен, второй положителен, поэтому на правом интервале знак «минус», дальше знаки чередуются:

Значит, $x_2$ — корень при $-\frac{1}{2}⩽a⩽1$. На отрезке $[0;1]$ он лежит, если $0⩽\frac{a+2}{3}⩽1$, то есть $-2⩽a⩽1$. Пересечение этих условий: $-\frac{1}{2}⩽a⩽1$.

Совпадение корней. $a=\frac{a+2}{3}$ при $3a=a+2$, то есть при $a=1$.

Разберём все значения параметра.

При $a<-\frac{1}{2}$ ни одно из чисел не является корнем на отрезке — корней нет.

При $-\frac{1}{2}⩽a<0$ число $x_2$ — корень на отрезке, а $x_1=a<0$ на отрезок не попадает — один корень.

При $0⩽a<1$ оба числа — корни на отрезке, и они различны — два корня.

При $a=1$ оба числа равны $1$ — один корень.

При $a>1$ число $x_1=a>1$ вне отрезка, а $x_2$ не является корнем — корней нет.

Ответ: $a\in \left[-\frac{1}{2};0\right)\cup \{1\}$.