ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Из второго уравнения $y=x^2-2x$. Подставим в первое:

$$\left|x^2-2x\right|-4x-a=0\iff a=\left|x^2-2x\right|-4x.$$

Каждому корню $x$ этого уравнения соответствует ровно одно решение системы $\left(x;x^2-2x\right)$. Значит, нужно найти все $a$, при которых уравнение $a=f(x)$, где $f(x)=\left|x^2-2x\right|-4x$, имеет ровно два корня.

Решим задачу графически. Будем считать $a$ второй координатой и построим на плоскости $(x;a)$ график $a=f(x)$. Корни уравнения при данном $a$ — абсциссы точек пересечения графика с горизонтальной прямой на высоте $a$.

Раскроем модуль. Выражение $x^2-2x=x(x-2)$ неотрицательно при $x⩽0$ и при $x⩾2$ и отрицательно при $0<x<2$:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x,& x⩽0\text{или}x⩾2,\\ -x^2-2x,& 0<x<2.\end{array}$$

Первая формула — парабола $a=(x-3{)}^2-9$ с вершиной $(3;-9)$, ветви вверх. Вторая — парабола $a=-(x+1{)}^2+1$ с вершиной $(-1;1)$, ветви вниз. На стыках значения по обеим формулам совпадают: при $x=0$ обе дают $0$, при $x=2$ обе дают $-8$ ($4-12=-8$ и $-4-4=-8$). Значит, график непрерывен.

Выясним, где $f$ возрастает и убывает.

На луче $(-\infty ;0]$ функция $x^2-6x$ убывает (это часть параболы левее вершины $x=3$) от $+\infty$ до $0$.

На отрезке $[0;2]$ функция $-(x+1{)}^2+1$ убывает (часть параболы правее вершины $x=-1$) от $0$ до $-8$.

На отрезке $[2;3]$ функция $x^2-6x$ убывает от $-8$ до $-9$.

На луче $[3;+\infty )$ функция $x^2-6x$ возрастает от $-9$ до $+\infty$.

Итак, $f$ непрерывна, убывает на $(-\infty ;3]$ от $+\infty$ до $-9$ и возрастает на $[3;+\infty )$ от $-9$ до $+\infty$. Её наименьшее значение $-9$ достигается в вершине $(3;-9)$. На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, граничное положение прямой $a=-9$ показано пунктиром, тонкая прямая $a=-5$ — пример положения с двумя точками.

Разберём все случаи.

При $a<-9$ прямая проходит ниже графика — решений нет.

При $a=-9$ прямая проходит через вершину $(3;-9)$, других общих точек нет — одно решение.

При $a>-9$ на промежутке убывания $(-\infty ;3)$ функция принимает значение $a$ ровно один раз, и на промежутке возрастания $(3;+\infty )$ — тоже ровно один раз. Получаем два решения. Например, при $a=-5$ это $x=\sqrt{6}-1$ и $x=5$.

Ответ: $a\in (-9;+\infty )$.