ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne -3$ и $x\ne a$ — знаменатели не равны нулю.

Приведём левую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-a)$:

$$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-2)(x+3)-(x+3)(x-a)}{(x+3)(x-a)}=0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x-2a)(x-a)=x^2-3ax+2a^2,(x-2)(x+3)=x^2+x-6,(x+3)(x-a)=x^2+(3-a)x-3a.$$

Сложим первые два выражения и вычтем третье:

$$x^2-3ax+2a^2+x^2+x-6-x^2-(3-a)x+3a=x^2-2(a+1)x+2a^2+3a-6.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Обозначим $q(x)=x^2-2(a+1)x+2a^2+3a-6$. Исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}q(x)=0,\\ x\ne -3,\\ x\ne a.\end{array}$$

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $q$:

$$\frac{D}{4}=(a+1{)}^2-\left(2a^2+3a-6\right)=a^2+2a+1-2a^2-3a+6=-\left(a^2+a-7\right).$$

Уравнение имеет ровно одно решение в двух случаях: либо у $q$ один корень, и он не запрещён; либо у $q$ два корня, и ровно один из них запрещён. При $D<0$ корней нет.

Случай 1: $D=0$. Тогда $a^2+a-7=0$, то есть

$$a=\frac{-1\pm \sqrt{29}}{2}.$$

Единственный корень $x=a+1$. Он не равен $a$ ни при каком $a$. Он равен $-3$ только при $a=-4$, но $(-4{)}^2+(-4)-7=5\ne 0$, так что $a=-4$ среди найденных значений нет. Значит, при обоих значениях уравнение имеет ровно одно решение.

Случай 2: $D>0$. Это условие $a^2+a-7<0$:

то есть $\frac{-1-\sqrt{29}}{2}<a<\frac{-1+\sqrt{29}}{2}$. Здесь у $q$ два различных корня, и нужно, чтобы ровно один из них был запрещён.

Число $x=a$ — корень $q$, если

$$q(a)=a^2-2(a+1)a+2a^2+3a-6=a^2+a-6=(a+3)(a-2)=0,$$

то есть при $a=-3$ или $a=2$.

Число $x=-3$ — корень $q$, если

$$q(-3)=9+6(a+1)+2a^2+3a-6=2a^2+9a+9=(2a+3)(a+3)=0,$$

то есть при $a=-3$ или $a=-\frac{3}{2}$.

Все три значения $-3$, $-\frac{3}{2}$, $2$ лежат в интервале $D>0$: при них $\frac{D}{4}=7-a-a^2$ равно соответственно $1$, $\frac{25}{4}$ и $1$. Проверим каждое.

При $a=2$: $q(x)=x^2-6x+8$, корни $2$ и $4$. Корень $x=2=a$ запрещён, $x=4$ подходит — одно решение.

При $a=-3$: запрещённые значения $x=-3$ и $x=a$ совпадают. $q(x)=x^2+4x+3$, корни $-1$ и $-3$. Корень $-3$ запрещён, $x=-1$ подходит — одно решение.

При $a=-\frac{3}{2}$: $q(x)=x^2+x-6$, корни $-3$ и $2$. Корень $-3$ запрещён, а $x=2\ne -\frac{3}{2}$ подходит — одно решение.

При остальных $a$ из интервала $D>0$ ни один корень не запрещён, и решений два.

Итак, уравнение имеет ровно одно решение при пяти значениях параметра: $\frac{-1-\sqrt{29}}{2}$, $-3$, $-\frac{3}{2}$, $2$, $\frac{-1+\sqrt{29}}{2}$.

Ответ: $a\in \left\{\frac{-1-\sqrt{29}}{2};-3;-\frac{3}{2};2;\frac{-1+\sqrt{29}}{2}\right\}$.