ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Найдём ограничения. Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным: $x+3>0$, то есть $x>-3$. При этом условии знаменатель положителен, и дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель.

Разложим числитель на множители группировкой:

$$x{y}^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3).$$

Значит, первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=3,\\ xy=3,\end{array}\\ x>-3.\end{array}$$

Уравнение $y=3$ при $x>-3$ задаёт луч горизонтальной прямой с выколотым началом $P(-3;3)$.

Уравнение $xy=3$ задаёт гиперболу $y=\frac{3}{x}$ (при $x=0$ равенство невозможно). Условие $x>-3$ оставляет всю правую ветвь ($x>0$) и часть левой ветви при $-3<x<0$ с выколотым концом $Q(-3;-1)$.

Луч и гипербола пересекаются в точке $C(1;3)$: из $3x=3$ получаем $x=1$.

Второе уравнение $y=ax$ задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, с угловым коэффициентом $a$. Число решений системы равно числу общих точек такой прямой с объединением луча и гиперболы.

Луч $y=3$, $x>-3$. Из $ax=3$ при $a=0$ решений нет, а при $a\ne 0$ получаем $x=\frac{3}{a}$. Условие $\frac{3}{a}>-3$ при $a>0$ выполнено всегда, а при $a<0$ после умножения на отрицательное $a$ даёт $3<-3a$, то есть $a<-1$. Итак, одна общая точка при $a>0$ и при $a<-1$, и ни одной при $-1⩽a⩽0$. Граничное значение $a=-1$ соответствует прямой через выколотую точку $P$.

Гипербола. Подставим $y=ax$ в $xy=3$: $a{x}^2=3$. При $a⩽0$ решений нет. При $a>0$ получаем $x=\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$. Точка правой ветви $x=\sqrt{\frac{3}{a}}>0$ подходит всегда. Точка левой ветви $x=-\sqrt{\frac{3}{a}}$ подходит, если $-\sqrt{\frac{3}{a}}>-3$, то есть $\frac{3}{a}<9$, $a>\frac{1}{3}$. Граничное значение $a=\frac{1}{3}$ соответствует прямой через выколотую точку $Q$: $-1=\frac{1}{3}\cdot (-3)$.

Совпадения. Точка на луче и точка на гиперболе могут совпасть только в их общей точке $C(1;3)$. Прямая проходит через неё при $3=a\cdot 1$, то есть при $a=3$.

Изобразим луч, гиперболу и граничные положения прямой (пунктир). Положение $a=0$ — это сама ось $Ox$: она не пересекает ни луч, ни гиперболу.

Разберём все случаи.

При $a<-1$ есть только точка на луче — одно решение.

При $-1⩽a⩽0$ общих точек нет — решений нет.

При $0<a⩽\frac{1}{3}$ есть точка на луче $\left(\frac{3}{a};3\right)$ и точка на правой ветви $\left(\sqrt{\frac{3}{a}};\sqrt{3a}\right)$; они различны, так как $a\ne 3$. Точки на левой ветви нет. Итого два решения. Например, при $a=\frac{1}{3}$ это $(9;3)$ и $(3;1)$.

При $\frac{1}{3}<a<3$ и при $a>3$ — точка на луче и по точке на каждой ветви, все различны — три решения.

При $a=3$ точка на луче и точка на правой ветви совпадают с $C(1;3)$, ещё одна точка — $(-1;-3)$ на левой ветви. Итого два решения.

Ответ: $a\in \left(0;\frac{1}{3}\right]\cup \{3\}$.